知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n+1}=a_{n}+ \dfrac {c}{a_{n}}(c > 0,n∈N*)$，
$($Ⅰ$)$证明：$a_{n+1} > a_{n}\geqslant 1$；
$($Ⅱ$)$若对任意$n∈N*$，都有$a_{n}\geqslant (c- \dfrac {1}{2})n-1$
证明：$(ⅰ)$对于任意$m∈N*$，当$n\geqslant m$时，$a_{n}\leqslant \dfrac {c}{a_{m}}(n-m)+a_{m}$
$(ⅱ)a_{n}\leqslant \dfrac { \sqrt {5n-1}}{2}$．

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3．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}= \dfrac {n^{2}+n}{2}$，等比数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，若$b_{1}=a_{1}+1$，$b_{2}-a_{2}=2$．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$、$\{b_{n}\}$的通项公式；
$(2)$求满足$T_{n}+a_{n} > 300$的最小的$n$值．

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4．

设函数$f(x)$定义为如下数表，且对任意自然数$n$均有$x_{n+1}=f(x_{n})$，若$x_{0}=6$，则$x_{2018}$的值为$($　　$)$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$…$
$f(x)$	$5$	$1$	$3$	$2$	$6$	$4$	$…$

A．$1$

B．$2$

C．$4$

D．$5$

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5．

记函数$f(x)=\sin 2nx-\cos nx$在区间$[0,π]$内的零点个数为$a_{n}(n∈N^{*})$，则数列$\{a_{n}\}$的前$20$项的和是$($　　$)$

A．$430$

B．$840$

C．$1250$

D．$1660$

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6．
已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}= \dfrac {3}{2}$，$a_{n+1}=(1+ \dfrac {1}{3^{n}})a_{n}+ \dfrac {2}{n(n+1)}(n∈N^{*})$
$($Ⅰ$)$判断数列$\{a_{n}\}$的单调性；
$($Ⅱ$)$证明：$ \dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}\leqslant 1+ \dfrac {1}{3^{n}}+ \dfrac {2}{3n(n+1)}(n\geqslant 2)$；
$($Ⅲ$)$证明：$a_{n} < 3 \sqrt {e}$．

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7．
已知等差数列$\{a_{n}\}$前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{6}=-9$，$S_{8}=4$，若满足不等式$n⋅S_{n}\leqslant λ$的正整数$n$有且仅有$3$个，则实数$λ$的取值范围为 ______ ．

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8．在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₃的等差中项是9 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函数y=|a₁|sin（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ x+φ），|φ|＜π，的一部分图象如图所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原点O重合，0＜β＜π，求tan（φ-β）的值．

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9．已知正数数列{a_n}的前n项和为Sn，满足S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（1- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ）²-a（1- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ），若b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

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10．数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-a_n+1，a₁=2．
（1）比较a_n与a_n+2的大小；
（2）证明： $2%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D$ ＜a_n+1-1＜2^2ⁿ（n≥2，n∈N^*）；
（3）记S_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7DS_%7Bn%7D$ ．

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\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(…\)
\(f(x)\)	\(5\)	\(1\)	\(3\)	\(2\)	\(6\)	\(4\)	\(…\)