知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）^n-1 $%20%5Cfrac%20%7B4n%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：较易

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2．已知数列{a_n}中，若a₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，a_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1-a_%7Bn-1%7D%7D$ （n≥2，n∈N⁺），则a₂₀₁₇等于（　　）

A．1

B．-1

C． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

D．2

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3．已知等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₂+a₆=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足： $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7B1%7D%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7B2%7D%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7B3%7D%7D%7B2%5E%7B3%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7Bn%7D%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D$ =a_n+n²+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

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4．已知各项为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n＞1，6S_n=（a_n+1）（a_n+2）（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B1%7Da_%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%C2%A0_%7B2%7Da_%7B3%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%C2%A0_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B6%7D$ ．

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5．已知数列{a_n}满足（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1），a₁=2，令b_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D-1%7D$ ．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n•3ⁿ}的前n项和S_n．

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6．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+pn，且a₂，a₅，a₁₀成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n= $%20%5Cfrac%20%7B4n%5E%7B2%7D%2B24n%2B40%7D%7Ba_%7Bn%7D%5Ccdot%20a_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

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7．已知数列{a_n}满足a₅=13，a_n+1-a_n=3（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和S_n=1- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D$ （n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，比较T_n与4的大小．

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8．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=An²+Bn，且a₁=2，a₂=5．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%5Ccdot%20a_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

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9．已知函数f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的实数a，b满足f（2）=2，f（ab）=af（b）+bf（a），a_n= $%20%5Cfrac%20%7Bf%282%5E%7Bn%7D%29%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D$ （n∈N^*），b_n= $%20%5Cfrac%20%7Bf%282%5E%7Bn%7D%29%7D%7Bn%7D$ （n∈N^*），给出下列命题：
①f（0）=f（1）；
②f（x）为奇函数；
③数列{a_n}为等差数列；
④数列{b_n}为等比数列．
其中正确的命题是 ______ ．（写出所有正确命题的序号）

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10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a1=-
2
3
，Sn+
1
Sn
+2=an(n≥2)．
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

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