知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知函数f（x）=log_mx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）若b_n=a_n•f（a_n），当m= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ 时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=a_n•lga_n，如果{c_n}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．

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2．已知数列 $%5C%7Ba_%7Bn%7D%5C%7D%5Ctext%7B%E4%B8%AD%7D%EF%BC%8Ca_%7B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%5Ctext%7B%E7%82%B9%7D%28n%EF%BC%8C2a_%7Bn%2B1%7D-a_%7Bn%7D%29%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29%5Ctext%7B%E5%9C%A8%E7%9B%B4%E7%BA%BF%7Dy%3Dx%5Ctext%7B%E4%B8%8A%7D$ ，
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列 $%5C%7B%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%2B%CE%BBT_%7Bn%7D%7D%7Bn%7D%5C%7D$ 为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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3．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜，用a_n，b_n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，若a₁=300，则：
（1）求a₂的值；
（2）判断数列{a_n-300}是否常数数列，说明理由．

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4．已知点（1，
1
3
）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．记数列{
1
bnbn+1
}前n项和为T_n，
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+
1
2
＞T_n恒成立，求实数t的取值范围
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

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5．正数数列{an}的前项和为S且Sn= $%28a_%7Bn%7D%2B1%29%5E%7B2%7D$
设 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%5Ccdot%20a_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，{n}项和Sn，求证： $S_%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．

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6．若4，S10S7成差数列证明a1，a7a4也成差数列；
设 $S_%7B3%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ， $S_%7B6%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B21%7D%7B16%7D$ ，bλan-n2，若数列bn是单递减数列，求实数λ的值围．

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7．数列{a_n}、{b_n}满足：a_n+b_n=2n-1，n∈N^*．
（1）若{a_n}的前n项和S_n=2n²-n，求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若a_n=k•2^n-1，n∈N^*，数列{b_n}是单调递减数列，求实数k的取值范围．

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8．若数列A_n：a₁、a₂、…a_n（n≥2）满足|a_k+1-a_k|=d＞0（k=1，2，…，n-1），则称A_n为F数列：
（1）写出所有满足a₁=a₅=0的两个F数列A₅；
（2）若a₁=d=1，n=2016，证明：F数列是递增数列的充要条件是a_n=2016；
（3）记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n，对任意给定的正整数n（n≥2），且d∈N^*，是否存在a₁=0的F数列A_n，使得S（A_n）=0？如果存在，求出正整数n满足的条件，如果不存在，请说明理由．

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9．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=1g（
n2+1
-n），判断数列{a_n}是否为单调数列，如是，请说明{a_n}的单调性；如不是，请说明理由．

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10．等差数列{a_n}中，已知a₁₀=23．
（1）若a₂₅=-22，问此数列从第几项开始为负？
（2）若数列从第17项起各项均为负，求公差d的取值范围．

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