知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），且a₂=6，
（1）计算a₁、a₃、a₄，请猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设b_n=a_n+n（n∈N^*），求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B2%7D-2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B3%7D-2%7D%2B%E2%80%A6%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7Bn%7D-2%7D%29$ 的值．

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2．已知数列{a_n}是一个首项为a₁，公比q＞0的等比数列，前n项和为S_n，记T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7BT_%7Bn%7D%7D$ 的值．

难度：较易

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3． $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%20%7B2n%5E%7B2%7D%2B5%7D%7Bn%5E%7B2%7D-3n%7D$ = ______ ．

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4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+3（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，n∈N^*，则 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ （b₁+b₂+…+b_n） ______ ．

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5．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，它的前n项和为S_n；
（1）若S₃=3，S₆=-21，求公比q；
（2）若q＞0，且T_n=a₁+a₃+…+a_2n-1，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ $%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7BT_%7Bn%7D%7D$ ．

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6．已知a＞0，b＞0，若 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7Bn%2B1%7D-b%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba%5E%7Bn%7D-b%5E%7Bn%7D%7D%3D5$ ，则a+b的值不可能是（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

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7．计算：
lim
n→∞
n+1
n-5
= ．

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8．如果

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ存在，那么x的取值范围是（　　）

A．0≤x＜1

B．0＜x＜1

C．0≤x≤1

D．0＜x≤1

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9．已知向量

=(an，2)，

=(an+1，

)，n∈N+且a₁=1，若数列{a_n}的前n项和为S_n，且

∥

，则

lim

n→∞

Sn=（　　）

A．

B．

C．

D．

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10．在数列{a_n}中，a₁=2，且
.
1 3
an+1 an
.
=0(n∈N*)，数列{a_n}前n项和为S_n，求
lim
n→∞
Sn的值．

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