知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=∅，定义S_T=0；若T={t₁，t₂，…，t_k}，定义S_T= $a_%7Bt_%7B1%7D%7D$ + $a_%7Bt_%7B2%7D%7D$ +…+ $a_%7Bt_%7Bk%7D%7D$ ．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k+1；
（3）设C⊆U，D⊆U，S_C≥S_D，求证：S_C+S_C∩D≥2S_D．

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2．已知f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2x%2B1%7D$ ，f₁（x）=f（x），f_n（x）= $%20%5Coverset%7B%20%5Coverset%7Bf%28%5Ccdots%20f%28x%29%5Ccdots%20%29%7D%7B%20%7D%7D%7Bn%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7Df%7D$ ，则 $f_%7B10%7D%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ = ______ ．

难度：较易

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3．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a_n万元．
（Ⅰ）用d表示a₁，a₂，并写出a_n+1与a_n的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．

难度：较易

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4．如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA，OB分别相交于点M，N，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ =x $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ =y $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ．
（1）把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；
（2）设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n≥2且n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

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5．已知数列{a_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，且a₁，a₃，a₂成等差数列，则公比q的值为．

难度：较易

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6．已知公差不为0的等差数列{a_n}，若a₂+a₄=10，且a₁、a₂、a₅成等比数列，则a₁= ，a_n= ．

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7．已知数列 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B5%7D%EF%BC%8C2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B11%7D%EF%BC%8C%E2%80%A6$ ，则 $2%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ 是这个数列的（　　）

A．第六项

B．第七项

C．第八项

D．第九项

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8．若4，S10S7成差数列证明a1，a7a4也成差数列；
设 $S_%7B3%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ， $S_%7B6%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B21%7D%7B16%7D$ ，bλan-n2，若数列bn是单递减数列，求实数λ的值围．

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9．设等差数列{a_n}的公差d不为0．若a₁=18，且a₁，a₄，a₈成等比数列，则公差d=（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

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10．设{a_n}是公比大于1的等比数列，a₁+a₂+a₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=lna_3n+1（n∈N^*），求{b_n}的通项公式．

难度：较易

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