知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商在第一年初到大陆创办一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第七年开始，每年初M的价值为年初的75%．
（1）求第n年初M的价值a_n的表达式；
（2）设A_n= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B1%7D%2Ba_%7B2%7D%2B%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%7D$ ，若A_n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：必须在第九年初对M更新．

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2．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%2B1%7D-1%7D%7B2%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项均为正数，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

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3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为1的等比数列{b_n}的公比为q，S₂=a₃=b₃，且a₁，a₃，b₄成等比数列．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）对一切正整数n成立，求实数a，b的值．

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4．已知正项数列{a_n}的前n和为S_n，且 $%20%5Csqrt%20%7BS_%7Bn%7D%7D$ 是 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ 与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列 $%5C%7B%20%5Cfrac%20%7BT_%7Bn%7D%2B%CE%BB%7D%7Ba_%7Bn%2B2%7D%7D%5C%7D$ 为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．

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5．若存在常数k（k∈N^*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{a_n}满足 $a_%7Bn%2B1%7D%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20a_%7Bn%7D%2Bd%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7Bk%7D%E2%88%89N%5E%7B*%7D%20%5C%5C%20qa_%7Bn%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7Bk%7D%E2%88%88N%5E%7B*%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 则称数列{a_n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b_n}为“段比差数列”．
（1）若{b_n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．
①当q=0时，求b₂₀₁₆；
②当q=1时，设{b_n}的前3n项和为S_3n，若不等式 $S_%7B3n%7D%E2%89%A4%CE%BB%5Ccdot%203%5E%7Bn-1%7D$ 对n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围；
（2）设{b_n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b_n}，并说明理由．

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6．若数列A_n：a₁、a₂、…a_n（n≥2）满足|a_k+1-a_k|=d＞0（k=1，2，…，n-1），则称A_n为F数列：
（1）写出所有满足a₁=a₅=0的两个F数列A₅；
（2）若a₁=d=1，n=2016，证明：F数列是递增数列的充要条件是a_n=2016；
（3）记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n，对任意给定的正整数n（n≥2），且d∈N^*，是否存在a₁=0的F数列A_n，使得S（A_n）=0？如果存在，求出正整数n满足的条件，如果不存在，请说明理由．

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7．若数列{a_n}的通项a_n=-2n²+29n+3，则此数列的最大项的值是（　　）

A．107

B．108

C．108 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B8%7D$

D．109

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8．记公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=9，a₃，a₅，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）若c_n=n²+λa_n，n=1，2，3，…，问是否存在实数λ，使得数列{c_n}为单调递增数列？若存在，请求出λ的取值范围；不存在，请说明理由．

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9．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 ______ ．

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10．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100项是（　　）

A．10

B．12

C．13

D．14

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