知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即 $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%7D$ ）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为 ______ ．

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2．各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足：a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=1，a₂=3，则数列{a_n}的通项公式为 ______ ．

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3．设{a_n}是公差不为零的等差数列，满足a₆=5，a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-11
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若从数列{a_n}，{b_n+4}中按从小到大的顺序取出相同的项构成数列{C_n}，直接写出数列{C_n}的通项公式；
（3）记d_n= $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，是否存在正整数m，n（m≠n≠5），使得d₅，d_m，d_n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

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4．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，满足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，设数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

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5．设等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₅=15，且2a₂，a₆，a₈+1成公比大于1的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 $b_%7Bn%7D%3D2%5E%7Bn%7D%5Ccdot%20a_%7Bn%7D$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

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6．已知递增的等差数列{a_n}（n∈N^*）的首项a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列，则a₄+a₈+a₁₂+…+a_4n+4= ______ ．

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7．我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x₁，x₂，总有不等式 $%20%5Cfrac%20%7Bf%28x_%7B1%7D%29%2Bf%28x_%7B2%7D%29%7D%7B2%7D%E2%89%A4f%28%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ 成立，则称函数f（x）在该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a_n}，如果对任意正整数n，总有不等式 $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%2Ba_%7Bn%2B2%7D%7D%7B2%7D%E2%89%A4a_%7Bn%2B1%7D$ 成立，则称数列{a_n}为向上凸数列（简称上凸数列），现有数列{a_n}满足如下两个条件：
①数列{a_n}为上凸数列，且a₁=1，a₁₀=28；
②对正整数n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中 $b_%7Bn%7D%3Dn%5E%7B2%7D-6n%2B10$ ，则数列{a_n}中的第三项a₃的取值范围为 ______ ．

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8．已知等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₄=10，且a₃，a₆，a₁₀成等比数列，则数列{a_n}前9项的和为（　　）

A．99

B．90

C．84

D．70

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9．在数列{a_n}中，对任意n∈N^*，若存在常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+…+λ_ka_n（λ_i≠0，i=1，2，…，k）恒成立，则称数列{a_n}为k阶数列．
①若a_n=2ⁿ，则数列{a_n}为1阶数列；
②若a_n=2n+1，则数列{a_n}为2阶数列；
③若a_n=n²，则数列{a_n}为3阶数列；
以上结论正确的序号是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

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10．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=0，S₅=2a₄-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2 $%C2%A0%5E%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

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