知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a_n万元．
（Ⅰ）用d表示a₁，a₂，并写出a_n+1与a_n的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．

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2．如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA，OB分别相交于点M，N，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ =x $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ =y $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ．
（1）把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；
（2）设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n≥2且n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

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3．德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即 $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%7D$ ）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为 ______ ．

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4．我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x₁，x₂，总有不等式 $%20%5Cfrac%20%7Bf%28x_%7B1%7D%29%2Bf%28x_%7B2%7D%29%7D%7B2%7D%E2%89%A4f%28%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ 成立，则称函数f（x）在该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a_n}，如果对任意正整数n，总有不等式 $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%2Ba_%7Bn%2B2%7D%7D%7B2%7D%E2%89%A4a_%7Bn%2B1%7D$ 成立，则称数列{a_n}为向上凸数列（简称上凸数列），现有数列{a_n}满足如下两个条件：
①数列{a_n}为上凸数列，且a₁=1，a₁₀=28；
②对正整数n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中 $b_%7Bn%7D%3Dn%5E%7B2%7D-6n%2B10$ ，则数列{a_n}中的第三项a₃的取值范围为 ______ ．

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5．某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年初，以后每年只能在原单位按上一年的 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ 领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为a_n元；
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）当 $b%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7B3a%7D%7B8%7D$ 时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？

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6．已知数列 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B5%7D%EF%BC%8C2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B11%7D%EF%BC%8C%E2%80%A6$ ，则 $2%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ 是这个数列的（　　）

A．第六项

B．第七项

C．第八项

D．第九项

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7．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100项是（　　）

A．10

B．12

C．13

D．14

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8．已知实数a，b，c成等差数列，a+1，b+1，c+4成等比数列，且a+b+c=15，求a，b，c

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9．已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx_%7Bn%7D%2B2%7D$ 的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列{A_n}的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁= $%20%5Cfrac%20%7B11%7D%7B7%7D$
（Ⅰ）求x_n与x_n+1的关系式；
（Ⅱ）令b_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx_%7Bn%7D-2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，求证：数列{b_n}是等比数列，并写出通项公式；
（Ⅲ）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零正数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

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10．已知公差不为零的等差数列{a_n}，若a₅，a₉，a₁₅成等比数列，则

a15

等于（　　）

A．

B．

C．

D．

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