知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．将三项式（x²+x+1）ⁿ展开，当n=1，2，3，…时，得到如下所示的展开式，如图所示的广义杨辉三角形：
（x²+x+1）⁰=1
（x²+x+1）¹=x²+x+1
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1
（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角形构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（a+x）（x²+x+1）⁴的展开式中，x⁶项的系数为46，则实数a的值为 ______ ．

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2．下列类比推理中，得到的结论正确的是（　　）

A．把log_a（x+y）与a（b+c）类比，则有log_a（x+y）=log_ax+log_by

B．向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的数量积运算与实数a，b的运算性质|ab|=|a|•|b|类比，则有| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |=| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ || $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |

C．把（a+b）ⁿ与（ab）ⁿ类比，则有（a+b）ⁿ=aⁿ+bⁿ

D．把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和

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3．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，求g₁（x），g₂（x），g₃（x），并猜想g_n（x）的表达式（不必证明）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N₊，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-f（n）的大小，并用数学归纳法加以证明．

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4．在三角形中，有结论：“任意两边之和大于第三边”，类比到空间，在四面体中，有 ______ （用文字叙述）

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5．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 ______ 个．

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6．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3
S₁= $%5B%20%5Csqrt%20%7B1%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%5D%3D3$
S₂= $%5B%20%5Csqrt%20%7B4%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B7%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B8%7D%5D%3D10$
S₃= $%5B%20%5Csqrt%20%7B9%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B10%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B11%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B12%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B13%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B14%7D%5D%2B%5B%20%5Csqrt%20%7B15%7D%5D%3D21$ ，…
依此规律，那么S₁₀= ______ ．

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