知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f(x)= \dfrac {x+t}{x-1}e^{x-1}$，其中$e$为自然对数的底数．
$(1)$证明：当$x > 1$时，$①\ln \sqrt {x} < \sqrt {x}-1$，$②e^{x-1} > x$；
$(2)$证明：对任意$x > 1$，$t > -1$，有$f(x) > \sqrt {x}(1+ \dfrac {1}{2}\ln x)$．

难度：较易

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2．

设非等腰$\triangle ABC$内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且$A$，$B$，$C$成等差数列，用分析法证明：$\dfrac{{1}}{a-b}+\dfrac{{1}}{c-b}=\dfrac{{3}}{a-b+c}$．

难度：较易

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3．
设$a$，$b∈(0,+∞)$，且$a\neq b$，求证：$a^{3}+b^{3} > a^{2}b+ab^{2}$．

难度：较易

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4．设非等腰△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，用分析法证明： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba-b%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bc-b%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Ba-b%2Bc%7D$ ．

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5．已知a＞0，b＞0，用分析法证明： $%20%5Cfrac%20%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D$ ≥ $%20%5Cfrac%20%7B2ab%7D%7Ba%2Bb%7D$ ．

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6．设a＞0，b＞0，2c＞a+b，求证：
（1）c²＞ab；
（2）c- $%20%5Csqrt%20%7Bc%5E%7B2%7D-ab%7D$ ＜a＜c+ $%20%5Csqrt%20%7Bc%5E%7B2%7D-ab%7D$ ．

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7．
某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：$① \sqrt {1}+ \sqrt {3} < 2 \sqrt {2}$；$② \sqrt {2}+ \sqrt {4} < 2 \sqrt {3}$；$③ \sqrt {3}+ \sqrt {5} < 2 \sqrt {4}$
$(1)$已知$ \sqrt {2}∈(1.41,1.42)$，$ \sqrt {3}∈(1.73,1.74)$，$ \sqrt {5}∈(2.23,2.24)$，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性$($注意不能近似计算$)$；
$(2)$请将此规律推广至一般情形，并证明之．

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8．试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B1-a%7D$ ≥9．

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9．已知m＞0，a，b∈R，求证： $%28%20%5Cfrac%20%7Ba%2Bmb%7D%7B1%2Bm%7D%29%5E%7B2%7D%E2%89%A4%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D%2Bmb%5E%7B2%7D%7D%7B1%2Bm%7D$ ．

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10．已知f（x）=
1
2x+
2
，证明f（x）+f（1-x）=
2
2
．

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