知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为$k$，当$k\geqslant 85$时，产品为一级品；当$75\leqslant k < 85$时，产品为二级品；当$70\leqslant k < 75$时，产品为三级品$.$现用两种新配方$($分别称为$A$配方和$B$配方$)$做实验，各生产了$100$件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：$($以下均视频率为概率$)$
$A$配方的频数分布表 $B$配方的频数分布表

指标值分组	$[75,80)$	$[80,85)$	$[85,90)$	$[90,95)$		指标值分组	$[75,80)$	$[80,85)$	$[85,90)$	$[90,95)$	$[75,80)$
频数	$10$	$30$	$40$	$20$		频数	$5$	$10$	$15$	$40$	$30$

$(1)$若从$B$配方产品中有放回地随机抽取$3$件，记“抽出的$B$配方产品中至少$1$件二级品”为事件$C$，求事件$C$的概率$P(C)$；
$(2)$若两种新产品的利润率与质量指标值$k$满足如下关系：$y= \begin{cases} t,k\geqslant 85 \\ 5t^{2},75\leqslant k < 85 \\ t^{2},70\leqslant k < 75\end{cases}($其中$ \dfrac {1}{7} < t < \dfrac {1}{6})$，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？

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3．
为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图

$(1)$根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩$u_{0}$；$($精确到个位$)$
$(2)$研究发现，本次检测的理科数学成绩$X$近似服从正态分布$N(u,σ^{2})(u=u_{0},σ$约为$19.3)$，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占$40\%$．
$(i)$估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？$($精确到个位$)$
$(ii)$从该市高三理科学生中随机抽取$4$人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为$Y$，求$Y$的分布列及数学期望$E(Y)$．
$($说明：$P(X > x_{1})=1-ϕ( \dfrac {x_{1}-u}{\sigma })$表示$X > x_{1}$的概率$.$参考数据$φ(0.7257)=0.6$，$φ(0.6554)=0.4)$

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4．
中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛$.$据统计，$2016$年卫星导航与位置服务产业总产值达到$2118$亿元，较$2015$年约增长$22.06\%.$下面是$40$个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值$($单位：万元$)$的频率分布直方图：
$(1)$根据频率分布直方图，求产值小于$500$万元的城市个数；
$(2)$在上述抽取的$40$个城市中任取$2$个，设$Y$为产值不超过$500$万元的城市个数，求$Y$的分布列及期望和方差．

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5．已知某口袋中有3个白球和a个黑球（a∈N^*），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若Eξ=3，则Dξ=（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

B．1

C． $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

D．2

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6．某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为x_n，y_n，如果点数满足x_n＜ $%20%5Cfrac%20%7B6y_%7B0%7D%7D%7By_%7B0%7D%2B6%7D$ ，则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．
（I）求第一轮闯关成功的概率；
（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获的奖金数f（i）=10000× $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bi%7D%7D$ （单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；
（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求x的分布列和数学期望．

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7．以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：

（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率p₀，并确定第几周的命中频率最高；
（2）以（1）中的p₀作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为X，求X的数学期望；
（3）以（1）中的p₀作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99？（取lg0.4=-0.398）

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8． 2013年国庆期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下图的频率分布直方图．
（1）此调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
（2）求这40辆小型车辆车速的中位数的估计值；
（3）若从车速在[80，90）的车辆中任抽取3辆，求抽出的3辆车中车速在[85，90）的车辆数ξ的分布列及数学期望．

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9．某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（A）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
（B）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．

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10．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（　　）

A．n

B．(n-1)

C．n

D．(n+1)

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指标值分组	\([75,80)\)	\([80,85)\)	\([85,90)\)	\([90,95)\)		指标值分组	\([75,80)\)	\([80,85)\)	\([85,90)\)	\([90,95)\)	\([75,80)\)
频数	\(10\)	\(30\)	\(40\)	\(20\)		频数	\(5\)	\(10\)	\(15\)	\(40\)	\(30\)