知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某高三理科班共有$60$名同学参加某次考试，从中随机挑选出$5$名同学，他们的数学成绩$x$与物理成绩$y$如下表：

数学成绩$x$ $145$ $130$ $120$ $105$ $100$

物理成绩$y$ $110$ $90$ $102$ $78$ $70$

数据表明$y$与$x$之间有较强的线性关系．
$(1)$求$y$关于$x$的线性回归方程；
$(2)$该班一名同学的数学成绩为$110$分，利用$(1)$中的回归方程，估计该同学的物理成绩；
$(3)$本次考试中，规定数学成绩达到$125$分为优秀，物理成绩达到$100$分为优秀$.$若该班数学优秀率与物理优秀率分别为$50\%$和$60\%$，且除去抽走的$5$名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有$5$人$.$能否在犯错误概率不超过$0.01$的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
参考数据：回归直线的系数$ \hat {b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})^{2}}$，$ \hat {a}= \overline {y}- \hat {b} \overline {x}$．
$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，$P(K^{2}\geqslant 6.635)=0.01$，$P(K^{2}\geqslant 10.828)=0.01$．

难度：较易

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2．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
晋级成功晋级失败合计
男 16
女 50
合计
（参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d）
P（K²≥k） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．

难度：较易

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3． 2016年1月1日起全国统一实施全面的两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后80后作为调查对象，随机调查了100人并对调查结果进行统计，70后不打算生二胎的占全部调查人数的15%，80后打算生二胎的占全部被调查人数的45%，100人中共有75人打算生二胎．
（1）根据调查数据，判断是否有90%以上把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由；
（2）以这100人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中（人数很多）随机抽取3位，记其中打算生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列，数学期望E（X）和方差D（X）．
参考公式：
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（ $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d）

难度：较易

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4．某单位有男职工600名，女职工400人，在单位想了解本单位职工的运动状态，根据性别采取分层抽样的方法从全体职工中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该单位职工平均每天运动的时间范围是[0，2]．若规定平均每天运动的时间不少于1小时的为“运动达人”，低于1小时的为“非运动达人”．根据调查的数据，按性别与是否为运动达人进行统计，得到如下2×2列联表．
运动时间
性别运动达人非运动达人合计
男 36
女 26
合计 100
（Ⅰ）请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与是否为运动达人有关；
（Ⅱ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该单位的3名男职工，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）及方差D（X）．
附表及公式：
　P（K²≥k₀）　0.15 0.10　 0.05　 0.025　 0.010　
　k₀ 　2.072 2.706　 3.841　　5.024 6.635
K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d．

难度：较易

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5．为观察高血压的发病是否与性别有关，某医院随机调查了60名住院患者，将调查结果做成了一个2×2列联表，由于统计员的失误，有两处数据丢失，既往的研究证实，女性患者高血压的概率为0.4，如果您是该统计员，请你用所学知识解答如下问题：
患高血压不患高血压合计
男 m 6
女 12 n
合计 60
（1）求出m，n，并探讨是否有99.5%的把握认为患高血压与性别有关？说明理由；
（2）已知在不患者高血压的6名男性病人中，有3为患有胃病，现从不患有高血压疾病的6名男性中，随机选出2名进行生活习惯调查，求这2人恰好都是胃病患者的概率．
附：①临界值表：
P（K²≥k₀） 0.010 0.005 0.001
k₀ 6.635 7.879 10.828
② $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d．

难度：较易

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6．随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式．某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表．

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	5	10	12	7	2	1

（I）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；

	年龄不低于45岁的人	年龄低于45岁的人	合计
赞成
不赞成
合计

（Ⅱ）若对年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中随机抽取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成使用微信交流的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望
参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d
参考数据：

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

难度：较易

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7．某设备在正常运行时，产品的质量m～N（μ，σ²），其中μ=500g，σ²=1，为了检验设备是否正常运行，质量检查员需要随机的抽取产品，测其质量．
（1）当质量检查员随机抽检时，测得一件产品的质量为504g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质量检查员的决定是否有道理，并说明你判断的依据．
进而，请你揭密质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准：
（2）请你根据以下数据，判断优质品与其生产季节有关吗？
品质
季节优质品数量合格品数量
夏秋季生产 26 8
春冬季生产 12 4
（3）该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过6个红绿灯的十字路口，假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是互相对立的，并且概率均为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．
B₁ B₂
A₁ a b
A₂ c d
参考数据：
若X～N（μ，σ²），则P（（μ-σ＜X＜μ+σ）≈0.683，
P（（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，
P（（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997，
X²= $%20%5Cfrac%20%7B%28a%2Bb%2Bc%2Bd%29%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
p（x²≥k₀） 0.100 0.050 0.010
k₀ 2.706 3.841 6.635

难度：较易

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8．微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用．某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下，对它们抢到的红包个数进行统计，得到如表数据：
型号
手机品牌 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
甲品牌（个） 4 3 8 6 12
乙品牌（个） 5 7 9 4 3
（Ⅰ）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？
（Ⅱ）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售．
①求在型号Ⅰ被选中的条件下，型号Ⅱ也被选中的概率；
②以X表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．
下面临界值表供参考：
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．

难度：较易

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9．

2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如图频率分布直方图：
（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；
（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

	经济损失不超过 4000元	经济损失超过 4000元	合计
捐款超过 500元	a=30	b
捐款不超过500元	c	d=6
合计

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：临界值表参考公式：， $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D%EF%BC%8Cn%3Da%2Bb%2Bc%2Bd$ ．

难度：较易

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10．某市对在职的91名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：

	支持新教材	支持旧教材	合计
教龄在10年以上的教师	12	34	46
教龄在10年以下的教师	22	23	45
合计	34	57	91

附表：

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

给出相关公式及数据：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d．
（12×23-22×34）²=222784，34×57×46×45=4011660．
参照附表，下列结论中正确的是（　　）

A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”

B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”

C．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”

D．我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关”

难度：较易

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进入组卷

数学成绩\(x\)	\(145\)	\(130\)	\(120\)	\(105\)	\(100\)
物理成绩\(y\)	\(110\)	\(90\)	\(102\)	\(78\)	\(70\)

P（K²≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

运动时间性别	运动达人	非运动达人	合计
男	36
女		26
合计			100

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

品质季节	优质品数量	合格品数量
夏秋季生产	26	8
春冬季生产	12	4

型号手机品牌	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ
甲品牌（个）	4	3	8	6	12
乙品牌（个）	5	7	9	4	3

	B₁	B₂
A₁	a	b
A₂	c	d