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            • 1.
              某高三理科班共有\(60\)名同学参加某次考试,从中随机挑选出\(5\)名同学,他们的数学成绩\(x\)与物理成绩\(y\)如下表:
              数学成绩\(x\) \(145\) \(130\) \(120\) \(105\) \(100\)
              物理成绩\(y\) \(110\) \(90\) \(102\) \(78\) \(70\)
              数据表明\(y\)与\(x\)之间有较强的线性关系.
              \((1)\)求\(y\)关于\(x\)的线性回归方程;
              \((2)\)该班一名同学的数学成绩为\(110\)分,利用\((1)\)中的回归方程,估计该同学的物理成绩;
              \((3)\)本次考试中,规定数学成绩达到\(125\)分为优秀,物理成绩达到\(100\)分为优秀\(.\)若该班数学优秀率与物理优秀率分别为\(50\%\)和\(60\%\),且除去抽走的\(5\)名同学外,剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有\(5\)人\(.\)能否在犯错误概率不超过\(0.01\)的前提下认为数学优秀与物理优秀有关?
              参考数据:回归直线的系数\( \hat {b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})^{2}}\),\( \hat {a}= \overline {y}- \hat {b} \overline {x}\).
              \(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\),\(P(K^{2}\geqslant 6.635)=0.01\),\(P(K^{2}\geqslant 10.828)=0.01\).
            • 2.
              第\(23\)届冬季奥运会于\(2018\)年\(2\)月\(9\)日至\(2\)月\(25\)日在韩国平昌举行,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如下频数分布表:
              收看时间\((\)单位:小时\()\) \([0,1)\) \([1,2)\) \([2,3)\) \([3,4)\) \([4,5)\) \([5,6)\)
              收看人数 \(14\) \(30\) \(16\) \(28\) \(20\) \(12\)
              \((1)\)若将每天收看比赛转播时间不低于\(3\)小时的教职工定义为“体育达人”,否则定义为“非体育达人”,请根据频数分布表补全\(2×2\)列联表:
              合计
              体育达人 \(40\) ______ ______
              非体育达人 ______ \(30\) ______
              合计 ______ ______ ______
              并判断能否有\(90\%\)的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关;
              \((2)\)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取\(6\)名,再从这\(6\)名“体育达人”中选取\(2\)名作冬奥会知识讲座\(.\)记其中女职工的人数为\(ξ\),求的\(ξ\)分布列与数学期望.
              附表及公式:
              \(P(K^{2}\geqslant k_{0})\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)
              \(k_{0}\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)
              \(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\).
            • 3.
              某设备在正常运行时,产品的质量\(m~N(μ,σ^{2})\),其中\(μ=500g\),\(σ^{2}=1\),为了检验设备是否正常运行,质量检查员需要随机的抽取产品,测其质量.
              \((1)\)当质量检查员随机抽检时,测得一件产品的质量为\(504g\),他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质量检查员的决定是否有道理,并说明你判断的依据.
                 进而,请你揭密质量检查员做出“要求停止生产,检查设备”的决定时他参照的质量参数标准:
              \((2)\)请你根据以下数据,判断优质品与其生产季节有关吗?
              品质
              季节
              优质品数量 合格品数量
              夏秋季生产 \(26\) \(8\)
              春冬季生产 \(12\) \(4\)
              \((3)\)该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过\(6\)个红绿灯的十字路口,假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是互相对立的,并且概率均为\( \dfrac {1}{3}\),求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差.
              \(B_{1}\) \(B_{2}\)
              \(A_{1}\) \(a\) \(b\)
              \(A_{2}\) \(c\) \(d\)
              参考数据:
              若\(X~N(μ,σ^{2})\),则\(P((μ-σ < X < μ+σ)≈0.683, \)
              \(P((μ-2σ < X < μ+2σ)≈0.954, \)
              \(P((μ-3σ < X < μ+3σ)≈0.997, \)
              \(X^{2}= \dfrac {(a+b+c+d)(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)
              \(p(x^{2}\geqslant k_{0})\) \(0.100\) \(0.050\) \(0.010\)
              \(k_{0}\) \(2.706\) \(3.841\) \(6.635\)
            • 4.
              \(2015\)年\(7\)月\(9\)日\(21\)时\(15\)分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成\(165.17\)万人受灾,\(5.6\)万人紧急转移安置,\(288\)间房屋倒塌,\(46.5\)千公顷农田受灾,直接经济损失\(12.99\)亿元\(.\)距离陆丰市\(222\)千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小明调查了梅州某小区的\(50\)户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成\([0,2000]\),\((2000,4000]\),\((4000,6000]\),\((6000,8000]\),\((8000,10000]\)五组,并作出如下频率分布直方图:
              \((\)Ⅰ\()\)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失\((\)同一组中的数据用该组区间的中点值作代表\()\);
              \((\)Ⅱ\()\)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款\(.\)现从损失超过\(4000\)元的居民中随机抽出\(2\)户进行捐款援助,设抽出损失超过\(8000\)元的居民为\(ξ\)户,求\(ξ\)的分布列和数学期望;
              \((\)Ⅲ\()\)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的\(50\)户居民捐款情况如表,根据表格中所给数据,分别求\(b\),\(c\),\(a+b\),\(c+d\),\(a+c\),\(b+d\),\(a+b+c+d\)的值,并说明是否有\(95\%\)以上的把握认为捐款数额多于或少于\(500\)元和自身经济损失是否到\(4000\)元有关?
              经济损失不超过
              \(4000\)元
              经济损失超过
              \(4000\)元
              合计
              捐款超过
              \(500\)元
              \(a=30\) \(b\)
              捐款不超
              过\(500\)元
              \(c\) \(d=6\)
              合计
              \(P(K^{2}\geqslant k)\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)
              \(k\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)
              附:临界值表参考公式:,\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},n=a+b+c+d\).
            • 5.
              某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式\(.\)为比较两种生产方式的效率,选取\(40\)名工人,将他们随机分成两组,每组\(20\)人\(.\)第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式\(.\)根据工人完成生产任务的工作时间\((\)单位:\(min)\)绘制了如下茎叶图:

              \((1)\)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
              \((2)\)求\(40\)名工人完成生产任务所需时间的中位数\(m\),并将完成生产任务所需时间超过\(m\)和不超过\(m\)的工人数填入下面的列联表:
              超过\(m\) 不超过\(m\)
              第一种生产方式
              第二种生产方式
              \((3)\)根据\((2)\)中的列联表,能否有\(99\%\)的把握认为两种生产方式的效率有差异?
              附:\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\),
              \(P(K^{2}\geqslant k)\) \(0.050\) \(0.010\) \(0.001\)
              \(k\) \(3.841\) \(6.635\) \(10.828\)
            • 6.
              近年来,我国电子商务蓬勃发展,有关部门推出了针对网购平台的商品和服务的评价系统,从该系统中随机选出\(100\)次成功了的交易,并对这些交易的评价进行统计,网购者对商品的满意率为\(0.6\),对服务的满意率为\(0.75\),其中对商品和服务都满意的交易为\(40\)次.
              \((1)\)根据已知条件完成下面的\(2×2\)列联表,并回答能否有\(99\%\)的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关”?
              对服务满意 对服务不满意 合计
              对商品满意 \(40\)
              对商品不满意
              合计 \(100\)
              \((2)\)若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的\(3\)次购物中,设对商品和服务都满意的次数为\(X\),求\(X\)的分布列和数学期望.
              附:\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}(\)其中\(n=a+b+c+d\)为样本容量\()\)
              \(P(K^{2}\geqslant k_{0})\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\)
              \(k\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\)
            • 7.
              手机\(QQ\)中的“\(QQ\)运动”具有这样的功能,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以看到朋友圈里好友的步数\(.\)小明的\(QQ\)朋友圈里有大量好友参与了“\(QQ\)运动”,他随机选取了其中\(30\)名,其中男女各\(15\)名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如表所示:
              步数
              性别
              \((0,2500)\) \([2500,5000)\) \([5000,7500)\) \([7500,10000)\) \([10000,+∞)\)
              \(0\) \(2\) \(4\) \(7\) \(2\)
              \(1\) \(3\) \(7\) \(3\) \(1\)
              \((\)Ⅰ\()\)以样本估计总体,视样本频率为概率,在小明\(QQ\)朋友圈里的男性好友中任意选取\(3\)名,其中走路步数低于\(7500\)步的有\(X\)名,求\(X\)的分布列和数学期望;
              \((\)Ⅱ\()\)如果某人一天的走路步数超过\(7500\)步,此人将被“\(QQ\)运动”评定为“积极型”,否则为“消极型”\(.\)根据题意完成下面的\(2×2\)列联表,并据此判断能否有\(95\%\)以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
              积极型 消极型 总计
              总计
              附:\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\).
              \(P(K^{2}\geqslant k_{0})\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.01\)
              \(k_{0}\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\)
            • 8.
              某班有 \(30\) 名学生,其中有 \(60\%\)的同学爱好体育锻炼\(.\)经体检调查,这 \(30\) 名同学的健康指数\((\)百 分制\()\)如下茎叶图所示\(.\)体检评价标准指出:健康指数不低于 \(70\) 者为身体状况好,健康指数 低于 \(70\) 者为身体状况一般.
              \((1)\)根据以上资料完成下面的 \(2×2\) 列联表,并判断可否有 \(99\%\)的把握认为“身体状况好与爱 好体育锻炼有关系”?
              身体状况好 身体状况一般 总计
              爱好体育锻炼 ______ ______ ______
              不爱好体育锻炼 ______ ______ ______
              总计 ______ ______ \(30\)
              \((2)\)从健康指数高于 \(90\) 的 \(5\) 人中随机选取 \(2\) 人,求这两人中恰好有一人爱好体育锻炼的概率.
              附:\(K^{2}= \dfrac {(a+b+c+d)(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)
               \(P(K\geqslant k_{0})\)  \(0.10\)  \(0.05\)  \(0.025\)  \(0.010\)  \(0.005\) \(0.001\) 
               \(k_{0}\)  \(2.706\)  \(3.841\)  \(5.024\)  \(6.635\)  \(7.879\)  \(10.828\)
            • 9.
              心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取\(50\)名同学 \((\)男\(30\)女\(20)\),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答\(.\)选题情况如表:\((\)单位:人\()\)
              几何题 代数题 总计
              男同学 \(22\) \(8\) \(30\)
              女同学 \(8\) \(12\) \(20\)
              总计 \(30\) \(20\) \(50\)
              \((\)Ⅰ\()\) 能否据此判断有\(97.5\%\)的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
              \((\)Ⅱ\()\) 经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在\(5-7\)分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在\(6-8\)分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
              附表及公式附表及公式
              \(P(k^{2}\geqslant k)\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)
              \(k\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)
              \(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\).
            • 10.
              随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷\(.\)为了解共享单车在\(A\)市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中随机抽取了\(200\)人进行抽样分析,得到如表\((\)单位:人\()\):
               经常使用  偶尔或不用  合计
               \(30\)岁及以下  \(70\)  \(30\)  \(100\)
               \(30\)岁以上  \(60\)  \(40\)  \(100\)
               合计  \(130\)  \(70\)  \(200\)
              \((\)Ⅰ\()\)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过\(0.15\)的前提下认为\(A\)市使用共享单车情况与年龄有关?\((\)Ⅱ\()①\)现从所抽取的\(30\)岁以上的网民中,按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取\(10\)人,然后,再从这\(10\)人中随机选出\(3\)人赠送优惠券,求选出的\(3\)人中至少有\(2\)人经常使用共享单车的概率.
              \(②\)将频率视为概率,从\(A\)市所有参与调查的网民中随机抽取\(10\)人赠送礼品,记其中经常使用共享单车的人数为\(X\),求\(X\)的数学期望和方差.
              参考公式:\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\),其中\(n=a+b+c+d\).
              参考数据:
               \(p(k^{2}\geqslant k_{0})\)  \(0.15\)  \(0.10\) \(0.05\)   \(0.025\)  \(0.010\)
               \(k_{0}\)  \(2.072\)  \(2.706\)  \(3.841\)  \(5.024\)  \(6.635\)
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