知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)和点\(M(1,a)\)．
\((\)Ⅰ\()\)若过点\(M\)有且只有一条直线与圆\(O\)相切，求实数\(a\)的值，并求出切线方程．
\((\)Ⅱ\()a= \sqrt {2}\)，过点\(M\)作圆\(O\)的两条弦\(AC\)，\(BD\)互相垂直，求\(|AC|+|BD|\)的最大值．

难度：较易

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2．
已知直线\(ax+y-2=0\)与圆心为\(C\)的圆\((x-1)^{2}+(y-a)^{2}=4\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且\(\triangle ABC\)为等边三角形，则实数\(a=\) ______ ．

难度：较易

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3．

已知圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}+mx-4=0\)上存在两点关于直线\(x-y+3=0\)对称，则实数\(m\)的值\((\)　　\()\)

A．\(8\)

B．\(-4\)

C．\(6\)

D．无法确定

难度：较易

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4．
已知圆\(C\)：\((x-1)^{2}+y^{2}=r^{2}(r > 0)\)与直线\(l\)：\(y=x+3\)，且直线\(l\)上有唯一的一个点\(P\)，使得过点\(P\)作圆\(C\)的两条切线互相垂直\(.\)设\(EF\)是直线\(l\)上的一条线段，若对于圆\(C\)上的任意一点\(Q\)，\( \overrightarrow{QE}\cdot \overrightarrow{QF}\leqslant 0\)，则\(| \overrightarrow{EF}|\)的最小值是 ______ ．

难度：较易

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5．
已知\(⊙C\)：\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-20=0\)，直线\(l\)：\((2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0\)．
\((1)\)求证：直线\(l\)与\(⊙C\)恒有两个交点；
\((2)\)若直线\(l\)与\(⊙C\)的两个不同交点分别为\(A\)，\(B.\)求线段\(AB\)中点\(P\)的轨迹方程，并求弦\(AB\)的最小值．

难度：较易

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6．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(A(-1,0)\)、\(B(1,0)\)、\(C(0,-1)\)，\(N\)为\(y\)轴上的点，\(MN\)垂直于\(y\)轴，且点\(M\)满足\( \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}= \overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{CM}(O\)为坐标原点\()\)，点\(M\)的轨迹为曲线\(T\)．
\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(T\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)设点\(P(P\)不在\(y\)轴上\()\)是曲线\(T\)上任意一点，曲线\(T\)在点\(P\)处的切线\(l\)与直线\(y=- \dfrac {5}{4}\)交于点\(Q\)，试探究以\(PQ\)为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．

难度：较易

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7．
已知圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+3=0\)关于直线\(x+y-1=0\)对称，圆心\(C\)在第四象限，半径为\( \sqrt {2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求圆\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)是否存在直线\(l\)与圆\(C\)相切，且在\(x\)轴上的截距是\(y\)轴上的截距的\(2\)倍？若存在，求直线\(l\)的方程；若不存在，说明理由．

难度：较易

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8．
如图是某圆拱桥的示意图\(.\)这个圆拱桥的水面跨度\(AB=24m\)，拱高\(OP=8m.\)现有一船，宽\(10m\)，水面以上高\(6m\)，这条船能从桥下通过吗？为什么？

难度：较易

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9．
已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=1\)与\(x\)轴负半轴相交于点\(A\)，与\(y\)轴正半轴相交于点\(B\)
\((1)\)若过点\(C( \dfrac {1}{2}, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)的直线\(l\)被圆\(O\)截得的弦长为\( \sqrt {3}\)，求直线\(l\)的方程；
\((2)\)若在以\(B\)为圆心半径为\(r\)的圆上存在点\(P\)，使得\(PA= \sqrt {2}PO(O\)为坐标原点\()\)，求\(r\)的取值范围；
\((3)\)设\(M(x_{1},y_{1})\)，\(Q(x_{2},y_{2})\)是圆\(O\)上的两个动点，点\(M\)关于原点的对称点为\(M_{1}\)，点\(M\)关于\(x\)轴的对称点为\(M_{2}\)，如果直线\(QM_{1}\)、\(QM_{2}\)与\(y\)轴分别交于\((0,m)\)和\((0,n)\)，问\(m⋅n\)是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．

难度：较易

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10．

直线\(\left\{\begin{matrix}x=1+2t \\ y=2+t\end{matrix}\;\;(为参数\right.) \)被圆\(x^{2}+y^{2}=9\)截得的弦长为\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {12}{5}\)

B．\( \dfrac {12}{5} \sqrt {5}\)

C．\( \dfrac {9}{5} \sqrt {5}\)

D．\( \dfrac {9}{5} \sqrt {10}\)

难度：较易

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