知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(C\)的顶点是原点，以\(x\)轴为对称轴，且经过点\(P(1,2)\)．
\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；
\((2)\)设点\(A\)，\(B\)在抛物线\(C\)上，直线\(PA\)，\(PB\)分别与\(y\)轴交于点\(M\)，\(N\)，\(|PM|=|PN|.\)求证：直线\(AB\)的斜率为定值．

难度：较易

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2．
已知抛物线\(y^{2}=4x\)截直线\(y=2x+m\)所得弦长\(AB=3 \sqrt {5}\)，
\((1)\)求\(m\)的值；
\((2)\)设\(P\)是\(x\)轴上的一点，且\(\triangle ABP\)的面积为\(9\)，求\(P\)的坐标．

难度：较易

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3．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C_{1}\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，且椭圆\(C_{1}\)的短轴长为\(2\)．
\((1)\)求椭圆\(C_{1}\)的方程；
\((2)\)设\(A(0, \dfrac {1}{16})\)，\(N\)为抛物线\(C_{2}\)：\(y=x^{2}\)上一动点，过点\(N\)作抛物线\(C_{2}\)的切线交椭圆\(C_{1}\)于\(B\)，\(C\)两点，求\(\triangle ABC\)面积的最大值．

难度：较易

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4．
已知直线\(y=x-2\)与抛物线\(y^{2}=2x\)相交于\(A\)、\(B\)两点，\(O\)为坐标原点．
\((1)\)求证：\(OA⊥OB\)．
\((2)\)求\(|AB|\)．

难度：较易

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5．
已知抛物线\(y^{2}= \dfrac {2}{3}x\)的焦点为\(F\)，过点\(F\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点．
\((1)\)若\( \overrightarrow{AF}=3 \overrightarrow{FB}\)，求直线\(AB\)的斜率；
\((2)\)设点\(M\)在线段\(AB\)上运动，原点\(O\)关于点\(M\)的对称点为\(C\)，求四边形\(OACB\)面积的最小值．

难度：较易

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6．

已知抛物线\(y^{2}=2x\)上一点\(A\)到焦点\(F\)距离与其到对称轴的距离之比为\(5\)：\(4\)，且\(|AF| > 2\)，则\(A\)点到原点的距离为\((\)　　\()\)

A．\( \sqrt {41}\)

B．\(2 \sqrt {2}\)

C．\(4\)

D．\(8\)

难度：较易

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7．

已知抛物线\(y=ax^{2}+bx+c\)通过点\(P(1,1)\)，且在点\(Q(2,-1)\)处的切线平行于直线\(y=x-3\)，则抛物线方程为\((\)　　\()\)

A．\(y=3x^{2}-11x+9\)

B．\(y=3x^{2}+11x+9\)

C．\(y=3x^{2}-11x-9\)

D．\(y=-3x^{2}-11x+9\)

难度：较易

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8．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，\(A\)为\(C\)上异于原点的任意一点，过点\(A\)的直线\(L\)交\(C\)于另一点\(B\)，交\(x\)轴的正半轴于点\(D\)，且有\(|FA|=|FD|\)，当点\(A\)的横坐标为\(3\)时，\(\triangle ADF\)为正三角形．
\((1)\)求\(C\)的方程
\((2)\)若直线\(L_{1}\)平行\(L\)，且\(L_{1}\)和\(C\)有且只有一个公共点\(E\)，证明直线\(AE\)恒过定点\(\)求\(\triangle ABE\)的面积最小值．

难度：较易

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9．

已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=8x\)的焦点为\(F\)，准线为\(l\)，\(P\)是\(l\)上一点，直线\(PF\)与曲线相交于\(M\)，\(N\)两点，若\( \overrightarrow{PF}=3 \overrightarrow{MF}\)，则\(|MN|=(\)　　\()\)

A．\( \dfrac {21}{2}\)

B．\( \dfrac {32}{3}\)

C．\(10\)

D．\(11\)

难度：较易

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10．

抛物线\(y=4-x^{2}\)与直线\(y=4x\)的两个交点为\(A\)、\(B\)，点\(P\)在抛物线上从\(A\)向\(B\)运动，当\(\triangle PAB\)的面积为最大时，点\(P\)的坐标为\((\)　　\()\)

A．\((-3,-5)\)

B．\((-2,0)\)

C．\((-1,3)\)

D．\((0,4)\)

难度：较易

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