知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的长轴长为\(4\)，焦距为\(2 \sqrt {2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)过动点\(M(0,m)(m > 0)\)的直线交\(x\)轴于点\(N\)，交\(C\)于点\(A\)，\(P(P\)在第一象限\()\)，且\(M\)是线段\(PN\)的中点，过点\(P\)作\(x\)轴的垂线交\(C\)于另一点\(Q\)，延长\(QM\)交\(C\)于点\(B\)．
\((ⅰ)\)设直线\(PM\)，\(QM\)的斜率分别为\(k\)，\(k′\)，证明\( \dfrac {k′}{k}\)为定值；
\((ⅱ)\)求直线\(AB\)的斜率的最小值．

难度：较易

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2．
I. 在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)过点\(P(1,2)\)，且倾斜角为\(α\)，\(α ∈\)\(\left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right( \)\(0\)，\( \dfrac{π}{2}\left)\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right.\) \(.\)以直角坐标系的原点\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ\)\({\,\!}^{2}\) \((3 + \sin \)\({\,\!}^{2}\) \(θ)= 12\)．
\((1)\)求直线\(l\)的参数方程和曲线\(C\)的直角坐标方程，并判断曲线\(C\)是什么曲线；

\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(M\)、\(N\)两点，当\(|PM|·|PN|= 2\)时，求\(α\)的值．

\(II\)．已知已知函数\(ƒ(x)=|x − 2a|+|x + 3|\)，\(g(x)=|x − 2|+ 3\)．
\((1)\)解不等式\(|g(x)| < 6\)；

\((2)\)若对任意的\(x\)\({\,\!}_{2}\) \(∈ R\)，均存在\(x\)\({\,\!}_{1}\) \(∈ R\)，使得\(g(x\)\({\,\!}_{1}\)\()= ƒ(x\)\({\,\!}_{2}\)\()\)成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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3．

已知圆\({{F}_{1}}\)：\({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36\)，定点\({{F}_{2}}\left( 2,0 \right)\)，\(A\)是圆\({{F}_{1}}\)上的一动点，线段\({{F}_{2}}A\) 的垂直平分线交半径\({{F}_{1}}A\)于\(P\)点，则\(P\)点的轨迹\(C\)的方程是\((\) \()\)

A．\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1\)

B．\(\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{5}=1\)

C．\(\dfrac{{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1\)

D．\(\dfrac{{{x}^{2}}}{5}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1\)

难度：较易

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4．
在平面直角坐标系 \(xOy\)中，已知椭圆 \(C\)\({\,\!}_{1}\)：\( \dfrac{x^2 }{a^2 }+ \dfrac{y^2 }{b^2 }=1( \)\(a\)\( > \) \(b\)\( > 0)\)的左焦点为 \(F\)\({\,\!}_{1}(-1,0)\)，且点 \(P\)\((0,1)\)在 \(C\)\({\,\!}_{1}\)上\(.\)
\((1)\)求椭圆\(C\)\({\,\!}_{1}\)的方程；

\((2)\)设直线\(l\)同时与椭圆\(C\)\({\,\!}_{1}\)和抛物线\(C\)\({\,\!}_{2}\)：\(y\)\({\,\!}^{2}=4\)\(x\)相切，求直线\(l\)的方程．

难度：较易

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5．

已知椭圆\( \dfrac{x^{2}}{25}+ \dfrac{y^{2}}{m^{2}}=1(\)\(m\)\( > 0)\)的左焦点为\(F\)\({\,\!}_{1}(-4,0)\)，则\(m\)\(=(\)　　\()\)

A．\(2\)

B．\(3\)

C．\(4\)

D．\(9\)

难度：较易

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6．

已知直线\(x-2y+4=0\)经过椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {x^{2}}{20}+ \dfrac {y^{2}}{16}=1\)

B．\( \dfrac {x^{2}}{20}+ \dfrac {y^{2}}{4}=1\)

C．\( \dfrac {x^{2}}{16}+ \dfrac {y^{2}}{12}=1\)

D．\( \dfrac {x^{2}}{16}+ \dfrac {y^{2}}{4}=1\)

难度：较易

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7．

设\({F}_{1},{F}_{2} \)分别是椭圆\(E:{{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(0 < b < 1)\)的左、右焦点，已知过点\({{F}_{1}}\) 的直线交椭圆\(E\)于 \(A\)，\(B\)两点，若\(\left| A{{F}_{1}} \right|=2\left| B{{F}_{1}} \right|\)，\(A{{F}_{2}}\bot x\)轴，则椭圆\(E\)的方程为 \((\) \()\)

A．\({{x}^{2}}+\dfrac{3{{y}^{2}}}{2}=1\)

B．\({{x}^{2}}+\dfrac{6{{y}^{2}}}{5}=1\)

C．\({{x}^{2}}+\dfrac{5{{y}^{2}}}{4}=1\)

D．\({{x}^{2}}+\dfrac{8{{y}^{2}}}{7}=1\)

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8．

“方程\(m{{x}^{2}}+n{{y}^{2}}=1\)表示焦点在\(y\)轴上的椭圆”是“\(m > n\)”的\((\) \()\)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

难度：较易

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9．

在\(\triangle ABC\)中，已知\(A(-1,0)\)，\(C(1,0)\)，且\(|BC|\)，\(|CA|\)，\(|AB|\)成等差数列，则顶点\(B\)的轨迹方程是\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {x^{2}}{3}+ \dfrac {y^{2}}{4}=1\)

B．\( \dfrac {x^{2}}{3}+ \dfrac {y^{2}}{4}=1(x\neq ± \sqrt {3})\)

C．\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)

D．\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1(x\neq ±2)\)

难度：较易

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10．与\( \sqrt {(x+3)^{2}+y^{2}}+ \sqrt {(x-3)^{2}+y^{2}}=10\)等价的方程是\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {x^{2}}{25}+ \dfrac {y^{2}}{9}=1\)

B．\( \dfrac {y^{2}}{25}+ \dfrac {x^{2}}{9}=1\)

C．\( \dfrac {x^{2}}{25}+ \dfrac {y^{2}}{16}=1\)

D．\( \dfrac {y^{2}}{25}+ \dfrac {x^{2}}{16}=1\)

难度：较易

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