知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知O为坐标原点，抛物线C：y²=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为 $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ ，曲线C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l₁经过点Q且垂直于x轴．
（Ⅰ）求线段OQ的长；
（Ⅱ）设不经过点P和Q的动直线l₂：x=my+b交曲线C于点A和B，交l₁于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问：l₂是否过定点？请说明理由．

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2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AO|=|AF|= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ；
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值．

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3．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求以点M（3，2）为中点的弦所在直线方程．

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4．如右图抛物线顶点在原点，圆（x-2）²+y²=2²的圆心恰是抛物线的焦点，
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．

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5．已知抛物线x²=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且k_PAk_PB=-2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

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6．设直线l与抛物线y²=4x相交于不同两点A、B，与圆（x-5）²+y²=r²（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点．
（1）若△AOB是正三角形（O为坐标原点），求此三角形的边长；
（2）若r=4，求直线l的方程；
（3）试对r∈（0，+∞）进行讨论，请你写出符合条件的直线l的条数（只需直接写出结果）

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7．已知抛物线C：y²=-4x．
（Ⅰ）已知点M在抛物线C上，它与焦点的距离等于5，求点M的坐标；
（Ⅱ）直线l过定点P（1，2），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点．

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8．已知抛物线C：y²=2px（p＞1）的焦点为F，直线y=m与y轴的交点为P，与C的交点为Q（x₀，y₀），且 $%20%5Cfrac%20%7B%7CQF%7C%7D%7B%7CPQ%7C%7D$ =p．
（1）当x₀+p取得最小值时，求p的值；
（2）当x₀=1时，若直线l与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：（x-n）²+y²=1相交于D，E两点，O为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数n，使得|DE|的长为定值？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

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9．过定点M（4，0）作直线l，交抛物线y²=4x于A，B两点，F是抛物线的焦点，求△AFB面积的最小值．

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10．（1）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为
3
5
，求C的标准方程；
（2）已知抛物线的准线方程是y=-2，求抛物线的标准方程．

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