知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．

已知抛物线$C$：$y^{2}=2px(p > 0)$，焦点为$F$，直线$y=x$与抛物线$C$交于$O$，$A$两点$(O$为坐标原点$)$，过$F$作直线$OA$的平行线交抛物线$C$于$B.D$两点$($其中$B$在第一象限$)$，直线$AB$与直线$OD$交于点$E$，若$\triangle OEF$的面积等于$1$，则抛物线$C$的准线方程为$($　　$)$

A．$x=-1$

B．$x=- \dfrac {1}{2}$

C．$y=-1$

D．$y=- \dfrac {1}{2}$

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2．
在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$F$为抛物线$y^{2}=2px(p > 0)$的焦点，直线$l$过点$F$与抛物线相交于$A$，$B$两点$($点$A$在第一象限$)$．
$(1)$若直线$l$的方程为$y= \dfrac {4}{3}x- \dfrac {2}{3}$，求直线$OA$的斜率；
$(2)$已知点$C$在直线$x=-p$上，$\triangle ABC$是边长为$2p+3$的正三角形，求抛物线的方程．

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3．已知动点P到点（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，0）的距离比它到直线x=- $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ 的距离小2．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记P点的轨迹为E，过点S（2，0）斜率为k₁的直线交E于A，B两点，Q（1，0），延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k₂，证明： $%20%5Cfrac%20%7Bk_%7B2%7D%7D%7Bk_%7B1%7D%7D$ 为定值．

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4．已知过抛物线G：y²=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BMF%7D%3D3%20%5Coverrightarrow%20%7BFN%7D$ ， $%7CMN%7C%3D%20%5Cfrac%20%7B16%7D%7B3%7D$ ，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（　　）

A． $%28x-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B16%7D%7B3%7D$

B． $%28x-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B16%7D%7B3%7D$

C． $%28x-3%29%5E%7B2%7D%2B%28y-2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D16$

D． $%28x-3%29%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D16$

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5．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足 $%E2%88%A0AFB%3D%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则 $%20%5Cfrac%20%7B%7CMN%7C%7D%7B%7CAB%7C%7D$ 的最大值是 ______ ．

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6．学校操场边有一条小沟，沟沿是两条长150米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？
（Ⅲ）现在学校要把这条水沟改挖（不准填土）成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？

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7．在一段笔直的斜坡AC上竖立两根高16米的电杆AB，CD，过B，D架设一条10万伏高压电缆线．假设电缆线BD呈抛物线形状，现以B为原点，AB所在直线为Y轴建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现视线AD恰与电缆线相切于点D（m，n）．
（1）求抛物线BD的方程；
（2）根据国家有关规定，高压电缆周围10米内为不安全区域，问当有一个身高1.8米的人在这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁？

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8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于点M，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于第一象限内的A，B两点，若|AM|= $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B4%7D$ |AF|，则k= ______ ．

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9．抛物线y²=-12x的准线方程是．

难度：较易

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