知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在长方体\(ABCD-A\)\(1\)\(B\)\(1\)\(C\)\(1\)\(D\)\(1\)中，\(O\)为\(AC\)的中点，设\(E\)是棱\(DD_{1}\)上的点，且\(\overrightarrow{DE}= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{DD_{1}}\)，若\(\overrightarrow{EO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AA_{1}}\)，试求\(x\)，\(y\)，\(z\)的值．

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2．如图：在平行六面体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，点\(M\)是线段\(A_{1}D\)的中点，点\(N\)在线段\(C_{1}D_{1}\)上，且\(D_{1}N= \dfrac {1}{3}D_{1}C_{1}\)，\(∠A_{1}AD=∠A_{1}AB=60^{\circ}\)，\(∠BAD=90^{\circ}\)，\(AB=AD=AA_{1}=1\)．
\((1)\)求满足\( \overrightarrow{MN}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AD}+z \overrightarrow{AA_{1}}\)的实数\(x\)、\(y\)、\(z\)的值．
\((2)\)求\(AC_{1}\)的长．

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3．

圆\(O\)上两点\(C\)，\(D\)在直径\(AB\)的两侧\((\)如图甲\()\)，沿直径\(AB\)将圆\(O\)折起形成一个二面角\((\)如图乙\()\)，若\(∠DOB\)的平分线交弧\(\overline {BD} \)于点\(G\)，交弦\(BD\)于点\(E\)，\(F\)为线段\(BC\)的中点．

\((\)Ⅰ\()\)证明：平面\(OGF/\!/\)平面\(CAD\)；\((\)Ⅱ\()\)若二面角\(C-AB-D\)为直二面角，且\(AB=2\)，\(∠CAB=45^{\circ}\)，\(∠DAB=60^{\circ}\)，求直线\(FG\)与平面\(BCD\)所成角的正弦值．

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4．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′．求证：
AC
+
AB
+
AD
=2
AC
．

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5．如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M为A₁C₁与B₁D₁的交点，化简下列向量表达式：
（1）
AA1
+
A1B1
；
（2）
1
2
A1B1
+
1
2
A 1D1
；
（3）
AA1
+
1
2
A1B1
+
1
2
A1D1
；
（4）
AB
+
BC
+
CC1
+
C1A1
+
A1A
．

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6．如图所示，在长方体体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC的中点．
（1）化简：
A1O
-
1
2
AB
-
1
2
AD
；
（2）设E是棱DD₁上的点，且
DE
=
2
3
DD1
，若
EO
=x
AB
+y
AD
+z
AA1
，试求实数x，y，z的值．

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7．如图，设O是▱ABCD所在平面外的任一点，已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
你能用
a
，
b
，
c
表示
OD
吗？若能，用
a
，
b
，
c
表示出
OD
；若不能，请说明理由．

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8．如图，在空间平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若以
AC
，
AB1
，
AD1
为空间的一个基底，用这个基底表示
AC1
．

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9．如图，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简
AC′
+
D′B
-
DC
．

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10．如图，在平行六面体（底面是平行四边形的斜四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M在AC上，且AM=
1
2
MC，N在A₁D上，且A₁N=2ND，设
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，试用
a
、
b
、
c
表示
MN
．

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