知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面积为 $%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B2%7D$ 的△ACB是等腰直角三角形且∠ACB=90°，C₁B⊥面ABC，C₁B=3．
（1）若AB的中点为S，证明：CS⊥C₁A．
（2）设 $T%283-%CE%BB%EF%BC%8C%CE%BB%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B4%CE%BB%2B3%7D%7B2%7D%29$ ，是否存在实数λ，使得直线TB与平面ACC₁A₁的夹角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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2．四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，SB=SC= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；
（2）求证：SA⊥BC；
（3）求直线SD与面SAB所成角的正弦值．

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3．如图，在Rt△AOB中，∠OAB= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值．

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4．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，AP=AB=2，F是PB的中点，E是BC上的动点．
（1）证明：PE⊥AF；
（2）若BC=2BE=4 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求直线AP与平面PDE所成角的大小．

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5．如图，在棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD⊥平面ABCD，M是PB的中点，且∠BCD=120°．
（Ⅰ）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ）求直线PD与平面CDM所成角的正弦值．

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6．（2016秋•历下区校级期末）已知如图，PA、PB、PC互相垂直，且长度相等，E为AB中点，则直线CE与平面PAC所成角的正弦值为．

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7．如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点M，N分别是PD，DC的中点
（Ⅰ）判断直线MN与平面PAC的位置关系，并给予证明
（Ⅱ）求三棱锥P-AMN的体积．

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8．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7DAB$ ，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求MC与平面EAC所成的角．

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