知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，边长为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，每条侧棱的长都是底面边长的 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求CP与平面SBC所成角的正弦值．

难度：较易

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2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（II）若PD=AD，求AD与平面PAB所成角的正弦值．

难度：较易

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3．如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．

（1）求证：EF⊥PB；
（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P-EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P-EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值．

难度：较易

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4．如图，在几何体P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分别为AC，BP中点．
（Ⅰ）求证EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．

难度：较易

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5．如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；
（2）求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

难度：较易

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6．已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．
（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；
（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B21%7D%7D%7B5%7D$ ？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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7．如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁DB；
（2）求直线BD与平面A₁BC₁所成的角的正弦值．

难度：较易

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8．如图在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁D₁和CC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ACD₁；
（2）求EF与平面CC₁D₁D所成角的余弦值．

难度：较易

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9．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱AD，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求CB₁与平面CAA₁C₁所成角的大小．

难度：较易

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