知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，正方形$ABCD$与等边三角形$ABE$所在的平面互相垂直，$M$，$N$分别是$DE$，$AB$的中点．
$(1)$证明：$MN/\!/$平面$BCE$；
$(2)$求锐二面角$M-AB-E$的余弦值．

难度：较易

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2．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-D₁的余弦值；
（Ⅲ）在线段CC₁上是否存在点P，使得平面A₁CD₁⊥平面PBD，若存在，求出 $%20%5Cfrac%20%7BCP%7D%7BPC_%7B1%7D%7D$ 的值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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3．
如图，梯形$ABEF$中，$AB/\!/EF$，$AF⊥BF$，$O$，$M$分别是$AB$，$FC$的中点，矩形$ABCD$所在的平面与$ABEF$所在的平面互相垂直，且$AB=2$，$AD=EF=1$．
$(1)$证明：$AF⊥$平面$CBF$；
$(2)$证明：$OM/\!/$平面$DAF$；
$(3)$若二面角$D-BC-F$为$60^{\circ}$，求直线$EM$与平面$CBF$所成角的大小．

难度：较易

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4．
在四棱锥$P-ABCD$中，底面是边长为$2$的菱形，$∠BAD=60^{\circ}$，$PB=PD=2$，$PA= \sqrt {6}$，$AC∩BD=O$
$($Ⅰ$)$设平面$ABP∩$平面$DCP=l$，证明：$l/\!/AB$
$($Ⅱ$)$若$E$是$PA$的中点，求三棱锥$P-BCE$ 的体积$V_{P-BCE}$．

难度：较易

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5．
如图，在斜三梭柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，侧面$AA_{1}C_{1}C$是菱形，$AC_{1}$与$A_{1}C$交于点$O$，$E$是棱$AB$上一点，且$OE/\!/$平面$BCC_{1}B_{1}$
$(1)$求证：$E$是$AB$中点；
$(2)$若$AC_{1}⊥A_{1}B$，求证：$AC_{1}⊥BC$．

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6．
如图所示，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，$PA⊥$平面$ABCD$，$PA=AD$，$E$，$F$分别为$PD$，$BC$的中点．
$(1)$求证：$AE⊥PC$；
$(2)G$为线段$PD$上一点，若$FG/\!/$平面$AEC$，求$ \dfrac {PG}{PD}$的值．

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7．若收集到的余长度如：A=BD=24（单位长度，AB=7，CD=25手中材，求BDα应成的角；

设计师AB，CD中点M，N处再焊接一根连管，然后挂一个与A，BD时平行平面板饰物．他担心设不一定能现．请你替他打消疑：无论ABCD多长，焊角度怎样，定存在一个M的平面与BD同时平证明向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BMN%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BBD%7D$ 面，写出明过程）；
如果事先能收确的材料有AC=BD=4请替设计打消另一个疑虑：即M要准多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ设计的BD所的，写出M与θ系式，并帮他算出无论如计M一定够用的长．

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8．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点．
（1）若DE∥平面A₁MC₁，求 $%20%5Cfrac%20%7BCE%7D%7BEB%7D$ ；
（2）求直线BC和平面A₁MC₁所成角的余弦值．

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9．（2016•成都模拟）在三棱柱ABC-A₁B_lC₁中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB₁的中点，M为AC上一点，AM=
2
3
AC．
（I）若三棱锥A₁-C₁ME的体积为
2
6
，求AA₁的长；
（Ⅱ）证明：CB₁∥平面A₁EM．

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．
（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积．

难度：较易

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