知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知四边形\(ABCD\)为\(⊙O\)的内接四边形，且\(BC=CD\)，其对角线\(AC\)与\(BD\)相交于点\(M.\)过点\(B\)作\(⊙O\)的切线交\(DC\)的延长线于点\(P\)．
\((1)\)求证：\(AB⋅MD=AD⋅BM\)；
\((2)\)若\(CP⋅MD=CB⋅BM\)，求证：\(AB=BC\)．

难度：较易

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2．
如图，直线\(PA\)与圆切于点\(A\)，过\(P\)作直线与圆交于\(C\)、\(D\)两点，点\(B\)在圆上，且\(∠PAC=∠BCD\)．
\((1)\)求证：\(∠PCA=∠BAC\)；
\((2)\)若\(PC=2AB=2\)，求\( \dfrac {AP}{BC}\)．

难度：较易

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3．如图设\(M\)为线段\(AB\)中点，\(AE\)与\(BD\)交于点\(C\)，\(∠DME=∠A=∠B=α\)，且\(DM\)交\(AC\)于\(F\)，\(EM\)交\(BD\)于\(G\)．
\((\)Ⅰ\()\)写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；
\((\)Ⅱ\()\)连结\(FG\)，设\(α=45^{\circ}\)，\(AB=4 \sqrt {2}\)，\(AF=3\)，求\(FG\)长．

难度：较易

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4．
如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(BE\)平分\(∠ABC\)，交\(AC\)于点\(E\)，过点\(E\)作\(ED⊥BE\)交\(AB\)于点\(D\)．
\((1)\)求证：\(AE^{2}=AD⋅AB\)；
\((2)\)已知\(AD= \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}\)，\(AE=2\)，求\(EC\)的长．

难度：较易

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5．
在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，过点\(A\)的直线与其外接圆交于点\(P\)，交\(BC\)延长线于点\(D\)．
\((1)\)求证：\( \dfrac {PC}{AC}= \dfrac {PD}{BD}\)；
\((2)\)若\(AC=3\)，求\(AP⋅AD\)的值．

难度：较易

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6．如图，\(\triangle ABC\)与\(\triangle ABD\)都是以\(AB\)为斜边的直角三角形，\(O\)为线段\(AB\)上一点，\(BD\)平分\(∠ABC\)，且\(OD/\!/BC\)．
\((1)\)证明：\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四点共圆，且\(O\)为圆心；
\((2)AC\)与\(BD\)相交于点\(F\)，若\(BC=2CF=6\)，\(AF=5\)，求\(C\)，\(D\)之间的距离．

难度：较易

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7．
如图，\(AB\)为\(⊙O\)的直径，过点\(B\)作\(⊙O\)的切线\(BC\)，\(OC\)交\(⊙O\)于点\(E\)，\(AE\)的延长线交\(BC\)于点\(D\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(CE^{2}=CD⋅CB\)．
\((\)Ⅱ\()\)若\(D\)为\(BC\)的中点，且\(BC=2 \sqrt {2}\)，求\(AB\)与\(DE\)的长．

难度：较易

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8．
如图，\(\triangle ABC\)的两条中线\(AD\)和\(BE\)相交于点\(G\)，且\(D\)，\(C\)，\(E\)，\(G\)四点共圆．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(∠BAD=∠ACG\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\(GC=1\)，求\(AB\)．

难度：较易

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9．
如图，已知四边形\(ABCD\)内接于圆，延长\(AB\)和\(DC\)相交于\(E\)，\(EG\)平分\(∠E\)，且与\(BC\)，\(AD\)分别相交于\(F\)，\(G.\)证明：
\((\)Ⅰ\()\triangle EAG\)∽\(\triangle ECF\)；
\((\)Ⅱ\()∠CFG=∠DGF\)．

难度：较易

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