知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．

已知直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=1+t, \\ & y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t \end{cases}(t\)为参数\().\)在以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ^{2}-4ρ\cos θ-2\sqrt{3}ρ\sin θ+4=0\)．

\((1)\)求直线\(l\)的普通方程和曲线\(C\)的直角坐标方程；

\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(｜OA｜·｜OB｜\)．

难度：较易

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3．在极坐标系中，点\(A\)的极坐标是\((1,π)\)，点\(P\)是曲线\(C\)：\(ρ=2\sin θ\)上的动点，则\(|PA|\)的最小值是( )

A．\(0\)

B．\( \sqrt{2}\)

C．\( \sqrt{2}\)\(+1\)

D．\( \sqrt{2}\)\(-1\)

难度：较易

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4．
I. 在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)过点\(P(1,2)\)，且倾斜角为\(α\)，\(α ∈\)\(\left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right( \)\(0\)，\( \dfrac{π}{2}\left)\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right.\) \(.\)以直角坐标系的原点\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ\)\({\,\!}^{2}\) \((3 + \sin \)\({\,\!}^{2}\) \(θ)= 12\)．
\((1)\)求直线\(l\)的参数方程和曲线\(C\)的直角坐标方程，并判断曲线\(C\)是什么曲线；

\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(M\)、\(N\)两点，当\(|PM|·|PN|= 2\)时，求\(α\)的值．

\(II\)．已知已知函数\(ƒ(x)=|x − 2a|+|x + 3|\)，\(g(x)=|x − 2|+ 3\)．
\((1)\)解不等式\(|g(x)| < 6\)；

\((2)\)若对任意的\(x\)\({\,\!}_{2}\) \(∈ R\)，均存在\(x\)\({\,\!}_{1}\) \(∈ R\)，使得\(g(x\)\({\,\!}_{1}\)\()= ƒ(x\)\({\,\!}_{2}\)\()\)成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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5．
在平面直角坐标系中，已知曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2\cos θ \\ y= \sqrt{3}\sin θ\end{cases} \)\((\)\(θ \)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线\(l\)过极坐标系内的两点\(A\left( \sqrt{2}, \dfrac{π}{4}\right) \)和\(B\left(3, \dfrac{π}{2}\right) \)．

\((\)Ⅰ\()\)写出曲线\(C\)的普通方程，并求直线\(l\)的斜率；

\((\)Ⅱ\()\)设直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点，求\(\left|BP\right|·\left|BQ\right| \)．

难度：较易

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6．在直角坐标系\(xOy\)内，直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} x=2+2t \\ y=1+4t\end{cases}(t\)为参数\().\)以\(Ox\)为极轴建立极坐标系，圆\(C\)的极坐标方程为\(ρ=2 \sqrt {2}\sin (θ+ \dfrac {π}{4}).\)判断直线\(l\)和圆\(C\)的位置关系．

难度：较易

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7．在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} x=t\cos \dfrac {8π}{3} \\ y=-4+t\sin \dfrac {8π}{3}\end{cases}(t\)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为：\(ρ^{2}-3ρ-4=0(ρ\geqslant 0)\)．
\((1)\)写出直线\(l\)的普通方程与曲线\(C\)的直角坐标系方程；
\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，求\(∠AOB\)的值．

难度：较易

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8．在极坐标系中，极点为 \(O\)，已知曲线 \(C\)\({\,\!}_{1}\)：与曲线 \(C\)\({\,\!}_{2}\)：交于不同的两点、 \(.\)以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．

\((1)\)求曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)与曲线\(C\)\({\,\!}_{2}\)的直角坐标方程；

\((2)\)求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．

难度：较易

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9．

在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\({C}_{1}:\begin{cases}x=1+ \dfrac{ \sqrt{3}}{2}t； \\ y=1+ \dfrac{1}{2}t\end{cases} (t\)为参数\()\)，在以\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线\({C}_{2:}ρ=2 \)．

\((1)\)求曲线\(C1\)和曲线\(C2\)的普通方程；

\((2)\)设曲线\(C1\)与曲线\(C2\)相交于两点\(A\)，\(B\)，求点\(P(1,1)\)到\(A\)，\(B\)两点的距离之积。

难度：较易

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10． \((\)Ⅰ\()\)在平面直角坐标系中，曲线\(C_{1}\)：\(\begin{cases}x=3+3\cos a, \\ y=2\sin a,\end{cases} ( \)\(a\)为参数\()\)经过伸缩变换\(\begin{cases}x{{'}}= \dfrac{x}{3}, \\ y{{'}}= \dfrac{y}{2},\end{cases} \)后的曲线为\(C_{2}\)，以坐标原点为极点， \(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系．
\((1)\)求\(C_{2}\)的极坐标方程；
\((2)\)设曲线\(C_{3}\)的极坐标方程为\(ρ\) \(\sin \)\(( \dfrac{π}{6} -θ)=1\)，且曲线\(C_{3}\)与曲线\(C_{2}\)相交于\(P\)，\(Q\)两点，求\(|PQ|\)的值．

\((\)Ⅱ\()\)已知函数 \(f\)\(( \)\(x\)\()=|2\) \(x\)\(-\) \(a\)\(|+\) \(a\)．
\((1)\)当 \(a\)\(=2\)时，求不等式 \(f\)\(( \)\(x\)\()\leqslant 6\)的解集；
\((2)\)设函数 \(g\)\(( \)\(x\)\()=|2\) \(x\)\(-1|\)，当 \(x\)\(∈R\)时， \(f\)\(( \)\(x\)\()+\) \(g\)\(( \)\(x\)\()\geqslant 3\)，求 \(a\)的取值范围．

难度：较易

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