知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b，c均为实数，且 $a%3Dx%5E%7B2%7D-2y%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%EF%BC%8Cb%3Dy%5E%7B2%7D-2z%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8Cc%3Dz%5E%7B2%7D-2x%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，
求证：a，b，c中至少有一个大于0．（请用反证法证明）

难度：较易

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2．已知a，b，c均为实数，且a=x²-2y+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，b=y²-2z+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，c=z²-2x+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

难度：较易

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3．（1）用综合法证明：a+b+c≥ $%20%5Csqrt%20%7Bab%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7Bbc%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7Bca%7D$ （a，b，c∈R⁺）
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x²-2y+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，b=y²-2z+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，c=z²-2x+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

难度：较易

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4．（1）求证： $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B7%7D$ ＞2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ；
（2）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bb%7D%7Ba%7D$ 和 $%20%5Cfrac%20%7B1%2Ba%7D%7Bb%7D$ 中至少有一个小于2．

难度：较易

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5．已知x∈R，a=x²-1，b=2x+2．
（1）求a+b的取值范围；
（2）用反证法证明：a，b中至少有一个大于等于0．

难度：较易

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6．用反证法证明： $%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ 不可能成等差数列．

难度：较易

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7．已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．

难度：较易

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8．已知x，y∈R⁺，且x+y＞2，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bx%7D%7By%7D$ 与 $%20%5Cfrac%20%7B1%2By%7D%7Bx%7D$ 中至少有一个小于2．

难度：较易

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9．（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°．
（2）已知n≥0，试用分析法证明： $%20%5Csqrt%20%7Bn%2B2%7D-%20%5Csqrt%20%7Bn%2B1%7D%EF%BC%9C%20%5Csqrt%20%7Bn%2B1%7D-%20%5Csqrt%20%7Bn%7D$ ．

难度：较易

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10．已知 $a%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cb%EF%BC%9E0%5Ctext%7B%E4%B8%94%7Da%2Bb%EF%BC%9E2%EF%BC%8C%5Ctext%7B%E6%B1%82%E8%AF%81%7D%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7B1%2Bb%7D%7Ba%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%2Ba%7D%7Bb%7D$ 中至少有一个小于2．

难度：较易

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