知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．
\((1)\)当\(x > 1\)时，求证：\(x^{2}+ \dfrac {1}{x^{2}} > x+ \dfrac {1}{x}\)；
\((2)\)用数学归纳法证明\( \dfrac {1}{n+1}+ \dfrac {1}{n+2}+…+ \dfrac {1}{3n}\geqslant \dfrac {5}{6}(n∈N^{*}).\)

难度：较易

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4．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为正数，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，首项\(a_{1}=1\)，且\(S_{n}= \dfrac {1}{2}(a_{n}+ \dfrac {1}{a_{n}})\)，\(n∈N^{*}\)．
\((1)\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)的值；
\((2)\)试猜想数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，并用数学归纳法证明．

难度：较易

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5．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=1-na_{n}(n∈N^{*})\)
\((1)\)计算\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)；
\((2)\)猜想\(a_{n}\)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较易

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6．
在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {n+2}{n}a_{n}+1\)，其中\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)．
\((\)Ⅰ\()\) 计算\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)的值；
\((\)Ⅱ\()\) 根据计算结果，猜想\(\{a_{n}\}\)的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

难度：较易

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7．
是否存在常数\(a\)，\(b\)，\(c\)使等式\(1⋅(n^{2}-1)+2⋅(n^{2}-2^{2})+…+n⋅(n^{2}-n^{2})=n^{2}(an^{2}-b)+c\)对一切\(n∈N^{*}\)都成立？
并证明的结论．

难度：较易

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8．
已知\((x+1)n=a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x-1)^{2}+…+a_{n}(x+1)^{n}(n\geqslant 2,n∈N^{*})..\)
\((1)\)当\(n=3\)时，求\( \dfrac {a_{1}}{2}+ \dfrac {a_{2}}{2^{2}}+ \dfrac {a_{3}}{2^{3}}\)的值；
\((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {a_{n}}{2^{n-2}},T_{n}=b_{2}+b_{3}+…+b_{n}\)．
\(①\)求\(b_{n}\)的表达式；
\(②\)使用数学归纳法证明：当\(n\geqslant 2\)时，\(T_{n}= \dfrac {n(n+1)(n-1)}{6}\)．

难度：较易

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9．
当\(n∈N^{*}\)时，\(S_{n}=1- \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}- \dfrac {1}{4}+…+ \dfrac {1}{2n-1}- \dfrac {1}{2n}\)，\(T_{n}= \dfrac {1}{n+1}+ \dfrac {1}{n+2}+ \dfrac {1}{n+3}+…+ \dfrac {1}{2n}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(T_{1}\)，\(T_{2}\)；
\((\)Ⅱ\()\)猜想\(S_{n}\)与\(T_{n}\)的关系，并用数学归纳法证明．

难度：较易

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10．用数学归纳法证明\((1⋅2^{2}-2⋅3^{2})+(3⋅4^{2}-4⋅5^{2})+…+[(2n-1)(2n)^{2}-2n(2n+1)^{2}]=-n(n+1)(4n+3)\)．

难度：较易

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