知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知{f_n（x）}满足 $f_%7B1%7D%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B1%2Bx%5E%7B2%7D%7D%7D%28x%EF%BC%9E0%29$ ，f_n+1（x）=f₁（f_n（x））．
（1）求f₂（x），f₃（x），并猜想f_n（x）的表达式；
（2）用数学归纳法证明对f_n（x）的猜想．

难度：较易

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2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n=1时命题成立，并在假设当n=k（k≥1且k∈N^*）时命题成立的基础上，证明了当n=k+2时命题成立，那么综合上述，对于（　　）

A．一切正整数命题成立

B．一切正奇数命题成立

C．一切正偶数命题成立

D．以上都不对

难度：较易

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3．用数学归纳法证明 $1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D-1%7D%EF%BC%9Cn%28n%E2%88%88N%5E%7B%2B%7D%EF%BC%8Cn%EF%BC%9E1%29$ ，第二步证明从k到k+1，左端增加的项数为（　　）

A．2^k-1

B．2^k

C．2^k-1

D．2^k+1

难度：较易

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4．用数学归纳法证明：1+

1+2

1+2+3

+…+

1+2+3+…+n

n+1

时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项是（　　）

A．

k(k+2)

B．

k(k+1)

C．

(k+1)(k+2)

D．

(k+1)(k+2)

难度：较易

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5．用数学归纳法证明：1-（3+x）ⁿ（n∈N^*）能被x+2整除．

难度：较易

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6．用数学归纳法证明“1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）”时，由n=k（k＞1）等式成立，推证n=k+1，左边应增加的项为 ______ ．

难度：较易

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7．用数学归纳法证明：对任意的n∈N^*， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1%C3%973%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%C3%975%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282n-1%29%282n%2B1%29%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2n%2B1%7D$ ．

难度：较易

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8．已知数列{a_n}满足a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7B%28n%2B2%29%20a_%7B%20n%20%7D%5E%7B%202%20%7D-na_%7Bn%7D%2Bn%2B1%7D%7B%20a_%7B%20n%20%7D%5E%7B%202%20%7D%2B1%7D$ （n∈N₊），且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄，猜测a_n，并用数学归纳法证明；
（2）若n≥4，试比较3^a_n与（n-1）•2ⁿ+2n²的大小，并给出证明过程．

难度：较易

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9．设函数f（x）=x²e^x-1- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³-x²（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N^*，e^x-1＞ $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7Bn%7D%7D%7Bn%21%7D$ （其中n!=1×2×…×n）．

难度：较易

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