知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
$(1)$已知$x < -2$，求函数$y=2x+ \dfrac{1}{x+2}$的最大值；

$(2)$求$y= \dfrac{x^{2}+5}{ \sqrt{x^{2}+4}}$的最小值；

$(3)$若正数$a$，$b$满足$ab=a+b+3$，求$a+b$的取值范围．

难度：中等

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2．在直角坐标系$xOy$中，曲线$C_{1}$的参数方程为$\begin{cases} x= \sqrt{2}\cos φ, \\ y=\sin φ \end{cases}($其中$φ$为参数$)$，曲线$C_{2}$：$x^{2}+y^{2}-2y=0$，以原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线$l$：$θ=α(ρ\geqslant 0)$与曲线$C_{1}$，$C_{2}$分别交于点$A$，$B($均异于原点$O)$ ．
$(1)$求曲线$C$${\,\!}_{1}$，$C$${\,\!}_{2}$的极坐标方程；
$(2)$当$0 < α < $$ \dfrac{π}{2}$时，求$|OA|$${\,\!}^{2}$$+|OB|$${\,\!}^{2}$的取值范围．

难度：中等

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3．
已知函数$f(x)=-x^{2}-2x$，$g(x)=$$\begin{cases} x+ \dfrac{1}{4x},x > 0, \\ x+1,x\leqslant 0. \end{cases}$

$(1)$求$g[f(1)]$的值；

$(2)$若方程$g[f(x)]-a=0$有$4$个实数根，求实数$a$的取值范围．

难度：中等

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4．
已知函数$f(x)=-x^{2}-2x$，$g(x)=\begin{cases} x+ \dfrac{1}{4x},x > 0, \\ x+1,x\leqslant 0. \end{cases}$

$(1)$求$g(f(1))$的值；

$(2)$若方程$g(f(x))-a=0$有$4$个实数根，求实数$a$的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数 $y%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在 $%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7Ba%7D%5D$ 上是减函数，在 $%5B%20%5Csqrt%20%7Ba%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$ 上是增函数．
（Ⅰ）若函数 $y%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B2%5E%7Bb%7D%7D%7Bx%7D$ （x＞0）的值域为[6，+∞），求实数b的值；
（Ⅱ）已知 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D-12x-3%7D%7B2x%2B1%7D%EF%BC%8Cx%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C1%5D$ ，求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2c，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数c的值．

难度：中等

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6．
已知函数$y=x+ \dfrac {a}{x}$有如下性质：如果常数$a > 0$，那么该函数在$(0, \sqrt {a}]$上是减函数，在$[ \sqrt {a},+∞)$上是增函数．
$($Ⅰ$)$若函数$y=x+ \dfrac {2^{b}}{x}(x > 0)$的值域为$[6,+∞)$，求实数$b$的值；
$($Ⅱ$)$已知$f(x)= \dfrac {4x^{2}-12x-3}{2x+1},x∈[0,1]$，求函数$f(x)$的单调区间和值域；
$($Ⅲ$)$对于$($Ⅱ$)$中的函数$f(x)$和函数$g(x)=-x-2c$，若对任意$x_{1}∈[0,1]$，总存在$x_{2}∈[0,1]$，使得$g(x_{2})=f(x_{1})$成立，求实数$c$的值．

难度：中等

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