知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x³+a是奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证：f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
（Ⅲ）若对任意的θ∈R，不等式f（sin²θ-msinθ）+f（2sinθ-3）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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2．已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m-n≠0时，有
f(m)-f(n)
m-n
＜0．
（1）判断函数的单调性，需要说明理由：
（2）解不等式：f（x+
1
2
）＜f（1-x）；
（3）若不等式f（x）≥t²-2at+1对∀x∈[-1，1]与∀t∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=|x|，g（x）=-|x-a|+m．
（1）解关于x的不等式g[f（x）]+2-m＞0；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．

难度：中等

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4．已知f（x）=ax²-2x（a＞0），若存在实数t∈[0，2]，使得|f（x）-t|≤5对任意的x∈[0，2]恒成立，则a的取值范围是．

难度：中等

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5．已知a＞0，且不等式（x+t+
1
t
+a）²+（x-
1
t
-2）²≥50对于任意实数x∈R，t＞0恒成立，则a的取值范围是．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=x²-（c+1）x+c（c∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当c=1时，不等式f（x）＞a-5在（0，2）上恒成立，求实数a的取值范图；
（3）设g（x）=f（x）-x²-（a-1）x，已知0＜g（2）＜1，3＜g（3）＜5．求g（4）-a的范图．

难度：中等

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7．若不等式（a-2）x²+2（a-2）x一4≥0对∀x∈R恒不成立，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=xlnx-k（x-1），k∈R．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间．
（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，求实数k的取值范围．
（3）是否存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．已知g（x）=x²-2x-3，f（x）=ax+2．（a＞0）．
（1）若对于x∈[3，6]时，总存在x₀，使得f（x₀）=g（x₀），求a的取值范围；
（2）若g（x-b）=0在（-1，6）上恒有一个实数根．求b的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），且对于任意x₁，x₂∈[0，+∞），存在正实数L，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|均成立．
（1）若f（x）=
1+x
，x∈[0，+∞），求实数L的取值范围；
（2）当0＜L＜1时，正项数列{an}满足a_n+1=f（a_n），（n=1，2，…）
①求证：
n
k=1
|a_k-a_k+1|≤
1
1-L
•|a₁-a₂|；
②如果令A_k=
a1+a2+…+an
k
（k=1，2，3，…），
求证：
n
k=1
|A_k-A_k+1|≤
1
1-L
•|a₁-a₂|．

难度：中等

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