知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=（ax²+x+2）e^x（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[-2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．

难度：中等

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2．已知二次函数f（x）=ax²+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在 $%5B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D%EF%BC%8C%C2%A0e%5D$ 内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）．

难度：中等

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4．已知曲线y=x³上过点（2，8）的切线方程为12x-ay+b=0，求实数a，b的值．

难度：中等

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5．若曲线f（x）存在垂直于y轴的切线，且f′（x）=2x²+3-2a，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．设点P为曲线y=x³+
3
x+2上任意一点，求该曲线在点P处的切线的倾斜角θ的取值范围．

难度：中等

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7．一个质量为3kg的物体沿南北方向的道路（向北的方向为正方向）做直线运动，物体的位置s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）=t-6t表示，并且物体的动能E_k=
1
2
mv²（单位：焦耳）
（1）求瞬时速度v（单位：m/s）在t（单位：s）时刻的表达式；
（2）求物体开始运动后第5s时的动能．

难度：中等

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8．根据导数的几何意义，求函数y=
4-x2
在x=1处的导数．

难度：中等

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9．一块岩石在月球表面上以24m/s的速度垂直上抛，t s时达到的高度是s=24t-0.8t²．（用导数方法解答）
（1）求岩石在t时刻的速度和加速度；
（2）多少时间后岩石到达其最高点？

难度：中等

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10．已知曲线y=cos（ωx+
π
3
）在点（
π
2
，0）处切线斜率为k，若|k|＜1，求ω．

难度：中等

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