知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=bx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x；
（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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2．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜
m
20
对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=x³+ax²-x+c，且a=f′(
2
3
)．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

难度：中等

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4．计算
（1）已知f（x）=（x²+2x）e^x，求f′（-1）；
（2）∫

π
0
cos²
x
2
dx．

难度：中等

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5．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线x=-t（0＜t＜1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．

难度：中等

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6．求函数y=sin²（2x+
π
3
）的导数．

难度：中等

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7．证明下列命题：
（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；
（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．

难度：中等

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8．求函数y=x^x的导数．

难度：中等

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9．一辆汽车按规律s=2t²+3作直线运动，求这辆车在t=2时的瞬时速度．（时间单位：s，位移单位：m）

难度：中等

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10．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求由曲线y=f（x）、直线x=-1、直线x=0以及直线y=0围成的曲边梯形面
（Ⅲ）求由曲线段y=f（x）（0≤x≤1）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

难度：中等

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