知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知\(f(x)=e^{2x}+\ln (x+a)\)．
\((1)\)当\(a=1\)时，求\(f(x)\)在\((0,1)\)处的切线方程；
\((2)\)若存在\(x_{0}∈[0,+∞)\)，使得\(f(x_{0}) < 2\ln (x_{0}+a)+ x_{ 0 }^{ 2 }\)成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：中等

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2．
已知\(f(x)=\ln (x^{2}+2ax+a^{2}+a+1)\)，
\((1)\)若\(a=0\)，试判断函数\(f(x)\)的奇偶性；
\((2)\)若函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，求\(a\)的取值范围．

难度：中等

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3．
已知函数\(f(x)=x+a\ln x\)，\(a∈R\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(a=1\)时，求曲线\(y=f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程；
\((\)Ⅱ\()\)求函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最小值；
\((\)Ⅲ\()\)若函数\(F(x)= \dfrac {1}{x^{2}}f(x)\)，当\(a=2\)时，\(F(x)\)的最大值为\(M\)，求证：\(M < \dfrac {3}{2}\)．

难度：中等

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4．
已知函数\(f(x)=-x^{2}+ax-\ln x(a∈R)\)．
\((I)\)当\(a=3\)时，求函数\(f(x)\)在\([ \dfrac {1}{2},2]\)上的最大值和最小值；
\((\)Ⅱ\()\)函数\(f(x)\)既有极大值又有极小值，求实数\(a\)的取值范围．

难度：中等

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5．
已知函数\(f(x)=\ln (x-1)-k(x-1)+1\)．
\((1)\)求函数\(f(x)\)的单调区间；
\((2)\)若\(f(x)\leqslant 0\)恒成立，试确定实数\(k\)的取值范围．

难度：中等

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6．
已知函数\(f(x)=\ln x- \dfrac {1}{2}ax^{2}+x,a∈R\)．
\((1)\)若\(f(1)=0\)，求函数 \(f(x)\)的单调递减区间；
\((2)\)若关于\(x\)的不等式\(f(x)\leqslant ax-1\)恒成立，求整数\(a\)的最小值；
\((3)\)若 \(a=-2\)，正实数 \(x_{1}\)，\(x_{2}\)满足 \(f(x_{1})+f(x_{2})+x_{1}x_{2}=0\)，证明 \(x_{1}+x_{2}\geqslant \dfrac { \sqrt {5}-1}{2}\)．

难度：中等

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7．
已知函数\(f(x)=\ln x+kx^{2}+(2k+1)x\)
\((1)\)讨论\(f(x)\)的单调性；
\((2)\)当\(k < 0\)时，证明\(f(x)\leqslant \dfrac {3}{4k}-2\)．

难度：中等

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8．
已知函数\(g(x)= \dfrac {1}{x\cdot \sin \theta }+\ln x{在}[1,+∞)\)上为增函数，且\(θ∈(0,π),f(x)=mx- \dfrac {m-1+2e}{x}-\ln x,m∈R\)．
\((1)\)求\(θ\)的值；
\((2)\)若在\([1,e]\)上至少存在一个\(x_{0}\)，使得\(f(x_{0}) > g(x_{0})\)成立，求\(m\)的取值范围．

难度：中等

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9．
已知函数\(f(x)=a(x-Inx)+ \dfrac {2x-1}{x^{2}},a∈R\)．
\((1)\)讨论\(f(x)\)的单调性；
\((2)\)当\(a=1\)时，证明：\(f(x) > f^{′}(x)+ \dfrac {3}{2}\)对于任意的\(x∈[1,2]\)成立．

难度：中等

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10．

已知曲线\(C_{1}\)：\(y=e^{x}\)上一点\(A(x_{1},y_{1})\)，曲线\(C_{2}\)：\(y=1+\ln (x-m)(m > 0)\)上一点\(B(x_{2},y_{2})\)，当\(y_{1}=y_{2}\)时，对于任意\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，都有\(|AB|\geqslant e\)恒成立，则\(m\)的最小值为\((\)　　\()\)

A．\(1\)

B．\( \sqrt {e}\)

C．\(e-1\)

D．\(e+1\)

难度：中等

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