如图，已知抛物线 \(C\)：\({y}^{2}=2px \) 和\(⊙M \)：\({\left(x-4\right)}^{2}+{y}^{2}=1 \)，过抛物线\(C\)上一点\(H\left({x}_{0}\;,\;{y}_{0}\right)\left({y}_{0}\geqslant 1\right) \) 作两条直线与\(⊙M \)相切于\(A\)，\(B\)两点，分别交抛物线为\(E\)，\(F\)两点，圆心点\(M\)到抛物线准线的距离为\( \dfrac{17}{4} \)．

\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；

\((2)\)当\(∠AHB \)的角平分线垂直\(x\)轴时，求直线\(EF\)的斜率；

\((3)\)若直线\(AB\)在\(y\)轴上的截距为\(t\)，求\(t\)的最小值．

已知函数\(f(x)={{{e}}^{x}}-\dfrac{1}{2}a{{x}^{2}}(x > 0,e\)为自然对数的底数\()\)，\(f′(x)\)是\(f(x)\)的导函数．

    \((1)\)当\(a=2\)时，求证：\(f(x) > 1\)；

\((2)\)是否存在正整数\(a\)，使得\(f′(x)\geqslant x^{2}\ln x\)对任意\(x > 0\)恒成立？若存在，求出\(a\)的最大值；若不存在，请说明理由．

\(12.\)已知\(a\)，\(b{∈}R\)，且\(e^{x{+}1}{\geqslant }ax{+}b\)对\(x{∈}R\)恒成立，则\(ab\)的最大值是\((\)　　\()\)

已知函数\(f(x)=x^{2}+mx+1(m∈R)\)，\(g(x)=e^{x}\)．

\((1)\) 当\(x∈[0,2]\)时，\(F(x)=f(x)-g(x)\)为增函数，求实数\(m\)的取值范围\(;\)

\((2)\) 若\(m∈(-1,0)\)，设函数\(G(x)=\dfrac{f\mathrm{(}x\mathrm{)}}{g\mathrm{(}x\mathrm{)}}\)，\(H(x)=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{5}{4}\)，求证：对任意\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[1,1-m]\)，\(G(x_{1})\leqslant H(x_{2})\)恒成立．

已知函数\(f(x)=x(\ln x-ax)(x > 0)\)有两个极值点，则实数\(a\)的取值范围是(    )

函数\(f(x)=x+ \sqrt{2}\cos x\left( \left. 0\leqslant x\leqslant \dfrac{π}{2} \right. \right)\)的最大值为\((\)　　\()\)

\((\)Ⅰ\()\)讨论\(f(x)\)的单调性；

\((\)Ⅱ\()\)若当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x) > 0\)恒成立，求\(a\)的取值范围．

梯形\(ABCD\)顶点\(B\)、\(C\)在以\(AD\)为直径的圆上，\(AD\)\(=2\)米．

\((1)\)如图\(1\)，若电热丝由\(AB\)，\(BC\)，\(CD\)这三部分组成，在\(AB\)，\(CD\)上每米可辐射\(1\)单位热量，在\(BC\)上每米可辐射\(2\)单位热量，请设计\(BC\)的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；

\((2)\)如图\(2\)，若电热丝由弧，和弦\(BC\)这三部分组成，在弧，上每米可辐射\(1\)单位热量，在弦\(BC\)上每米可辐射\(2\)单位热量，请设计\(BC\)的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．