知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．设g（x）=lnx+ $%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bx%7D$ ，
（1）求a的值；
（2）对任意x₁＞x₂＞0， $%20%5Cfrac%20%7Bg%28x_%7B1%7D%29-g%28x_%7B2%7D%29%7D%7Bx_%7B1%7D-x_%7B2%7D%7D$ ＜1恒成立，求实数m的取值范围；
（3）讨论方程g（x）=f（x）+ln（x+1）在[1，+∞）上根的个数．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=ax²-x-lnx，a∈R．
（1）当 $a%3D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B8%7D$ 时，求函数f（x）的最小值；
（2）若-1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；
（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=e^xsinx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果对于任意的 $x%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ ，f（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+e^x•cosx， $x%E2%88%88%5B-%20%5Cfrac%20%7B2015%CF%80%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B2017%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ ．过点 $M%28%20%5Cfrac%20%7B%CF%80-1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C0%29$ 作函数F（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{x_n}，求数列{x_n}的所有项之和S的值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=2ax+bx-1-2lnx（a∈R）．
（1）当b=0时，讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若对∀α∈[1，3]，∀x∈（0，+∞），f（x）≥2bx-3恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e-1时，求证：e^xln（y+1）＞e^yln（x+1）．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=alnx+ $%20%5Cfrac%20%7B1-x%5E%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D$ ，a∈R．
（1）若f（x）的最小值为0，求实数a的值；
（2）证明：当a=2时，不等式f（x）≥ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ -e^1-x恒成立．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=lnx+kx（k∈R）．
（1）当k=-1时，求函数f（x）的极值点；
（2）当k=0时，若f（x）+ $%20%5Cfrac%20%7Bb%7D%7Bx%7D$ -a≥0（a，b∈R）恒成立，试求e^a-1-b+1的最大值；
（3）在（2）的条件下，当e^a-1-b+1取最大值时，设F（b）= $%20%5Cfrac%20%7Ba-1%7D%7Bb%7D$ -m（m∈R），并设函数F（x）有两个零点x₁，x₂，求证：x₁•x₂＞e²．

难度：中等

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7．水以20米³/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．

难度：中等

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