知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=e^1-x（-a+cosx），a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在[0，π]存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（
π
2
）=0，证明：对于∀x∈[-1，
1
2
]，总有f（-x-1）+2f′（x）•cos（-x-1）＞0．

难度：中等

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2．已知函数f(x)=
1
2
x2+(1-a)x-alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＜0，若对∀x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围．

难度：中等

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3．已知正项等比数列{a_n}满足a₅+a₄-a₃-a₂=8，则a₆+a₇的最小值为（　　）

A．4

B．16

C．24

D．32

难度：中等

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4．已知函数f（x）=-x³+ax²-4在x=2处取得极值，若m，n∈[-1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值是．

难度：中等

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5．某校内有一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售．已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元．
（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCDB的面积S_弓=f（θ）；
（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．
（参考公式：扇形面积公式S=
1
2
R²θ=
1
2
Rl，l表示扇形的弧长）

难度：中等

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6．请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/m²、100元/m²，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？

难度：中等

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7．针对酒后驾车经常造成的严重交通事故，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升、小于80毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车，含量大于（等于）80毫克/100毫升的行为属于醉酒驾车．经过测算一般情况下，成人饮用1杯啤酒后，血液中酒精浓度就可达到20mg/100ml，即构成饮酒驾驶的处罚条件．饮用2瓶啤酒或3两低度白酒后，血液酒精浓度可达到80mg/100ml，即构成醉酒驾驶处罚条件．
经过统计成人在饮用2瓶啤酒或3两低度白酒后血液中酒精浓度随时间变化的函数为f(x)=
a
3
x3-
5
2
ax2+6ax+b，0.5≤x≤3
k1
x
，3＜x≤9
k2e-
9
5
x，x≥9

现测得某人在饮酒后2小血液中酒精含量82，3小时含量68．（参考数据：e
9
5
≈
411
68
，e2.04≈
137
20
）
（1）求a，b，k₁，k₂；
（2）此人饮酒后血液中酒精浓度什么时候最大？最大值是多少？
（3）此人经过多少时间可以驾车？

难度：中等

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