知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．
在等差数列\(\{a_{n}\}(n∈N*)\)中，已知\(a_{1}=2\)，\(a_{5}=6\)．
\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的公差\(d\)及通项\(a_{n}\)
\((2)\)记\(b_{n}=2\;^{a_{n}}(n∈N*)\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)

难度：中等

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4．
设公比不为\(1\)的等比数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}a_{2}a_{3}=- \dfrac {1}{8}\)，且\(a_{2}\)，\(a_{4}\)，\(a_{3}\)成等差数列，则数列\(\{a_{n}\}\)的前\(4\)项和为 ______ ．

难度：中等

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5．
设\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是公比为\(q\)的等比数列，\(|q| > 1\)，令\({{b}_{n}}={{a}_{n}}+1\)，若数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)有连续四项在集合\(\left\{ -53,-23,19,37,82 \right\}\)中，则\(q=\)______________．

难度：中等

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6．
已知在等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，且\({{a}_{2}}\)是\({{a}_{1}}\)和\({{a}_{3}}-1\)的等差中项．

\((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((2)\)若数列\(\{{{b}_{n}}\}\)满足\({{b}_{n}}=2n-1+{{a}_{n}}(n\in {{N}^{*}})\)，求\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)．

难度：中等

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7．
\((1) \overset{⇀}{a}=\left(x,3\right)\;,\; \overset{⇀}{b}=\left(2\;,\;-1\right) \) ，若\( \overset{⇀}{a} \)与\( \overset{⇀}{b} \)的夹角为锐角，则\(x\)的范围是________________．

\((2)\)数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式为\({a}_{n}=2n-1+ \dfrac{1}{{2}^{n}} \)，则数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \) 的前\(n\)项和为________________．

\((3)\) 若函数\(f\left(x\right)=\cos 2x+a\sin x \)在区间\(\left( \dfrac{π}{6}\;,\; \dfrac{π}{2}\right) \)上是减函数，则\(a\)的取值范围是________________．

\((4)\) 设函数\(y=\begin{cases}-{x}^{3}+{x}^{2}\;,\;x < e \\ a\ln x\;,\;x\geqslant e\end{cases} \)的图象上存在两点 \(P\)，\(Q\)，使得\(∆POQ \)是以\(O\)为直角顶点的直角三角形\((\)其中\(O\)为坐标原点\()\)，且斜边的中点恰好在\(y\)轴上，则实数\(a\)的取值范围是________________．

难度：中等

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8．根据如图所示的程序框图，将输出的\(x\)，\(y\)依次记为\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(…\)，\(x_{2016}\)，\(y_{1}\)，\(y_{2}\)，\(…\)，\(y_{2016}\)．

\((1)\)求出数列\(\{x_{n}\}\)，\(\{y_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)求数列\(\{x_{n}+y_{n}\}(n\leqslant 2016)\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

难度：中等

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9．在数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{1}}=3\)，\({{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+5\)，\(n\in {{N}_{+}}\)．
\((1)\)证明：数列\(\{{{a}_{n}}+5\}\)是等比数列．
\((2)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)．

难度：中等

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10．
已知函数\(f(x)=e^{x}(\cos x-\sin x)\)，将满足\(f′(x)=0\)的所有正数\(x\)从小到大排成数列\(\{x_{n}\}\)，证明：数列\(\{f(x_{n})\}\)为等比数列．

难度：中等

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