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          共50条信息

            • 1． 已知数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=2^{5-n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式为\(b_{n}=n+k\)，设\(c_{n}= \begin{cases} \overset{b_{n},a_{n}\leqslant b_{n}}{a_{n},a_{n} > b_{n}}\end{cases}\)若在数列\(\{c_{n}\}\)中，\(c_{5}\leqslant c_{n}\)对任意\(n∈N^{*}\)恒成立，则实数\(k\)的取值范围是______．
              难度：中等
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            • 2．
              已知函数\(f(x)\)，给出如下定义：若\(f_{1}(x)\)，\(f_{2}(x)\)，\(…\)，\(f_{n}(x)\)，\(…\)均为定义在同一个数集下的函数，且\(f_{1}(x)=f(x)\)，\(f_{n}(x)=f(f_{n-1}(x))\)，其中\(n=2\)，\(3\)，\(4\)，\(…\)，则称\(f_{1}(x)\)，\(f_{2}(x)\)，\(…\)，\(f_{n}(x)\)，\(…\)为一个嵌套函数列，记为\(\{f_{n}(x)\}\)，若存在非零实数\(λ\)，使得嵌套函数列\(\{f_{n}(x)\}\)满足\(f_{n-1}(x)=λf_{n}(x)\)，则称\(\{f_{n}(x)\}\)为类等比函数列．
              \((\)Ⅰ\()\)已知\(\{f_{n}(x)\}\)是定义在\(R\)上的嵌套函数列，若\(f(x)= \dfrac {x}{2}+ \dfrac {1}{4}\)．
              \(①\)求\(f(2)\)，\(f_{2}(2)\)，\(f_{3}(2)\)．
              \(②\)证\(\{f_{n}(x)- \dfrac {1}{2}\}\)是类等比函数列．
              \((\)Ⅱ\()\)已知\(\{g_{n}(x)\}\)是定义在\((1,+∞)\)上嵌套函数列．
              若\(g(x)= \dfrac {1}{2}(x+ \dfrac {1}{x})\)，求证\(|g_{n+1}(x)-g_{n}(x)| < \dfrac {1}{2^{n}}|x- \dfrac {1}{x}|.\)
              难度：中等
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            • 3． 已知数列\(\{a_{n}\}\)是首项为\(a_{1}= \dfrac {1}{4}\)，公比\(q= \dfrac {1}{4}\)的等比数列，设\(b_{n}+2=3\log \;_{ \frac {1}{4}}a_{n}(n∈N^{*})\)，数列\(\{c_{n}\}\)满足\(c_{n}=a_{n}⋅b_{n}.(\)Ⅰ\()\)求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(c_{n}\leqslant \dfrac {1}{4}m^{2}+m-1\)对一切正整数\(n\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 4．
              设函数\(f(x)=2x-\cos 4x\)，\(\{a_{n}\}\)是公差为\( \dfrac {π}{8}\)的等差数列，\(f(a_{1})+f(a_{2})+…+f(a_{8})=11π\)，则\([f(a_{2})]^{2}-a_{1}a_{5}=(\)　　\()\)
              A．\(0\)
              B．\( \dfrac {1}{8}π^{2}\)
              C．\( \dfrac {3}{8}π^{2}\)
              D．\( \dfrac {13}{16}π^{2}\)
              难度：中等
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            • 5．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，对一切正整数\(n\)，点\(P_{n}(n,S_{n})\)都在函数\(f(x)=x^{2}+2x\)的图象上，记\(a_{n}\)与\(a_{n+1}\)的等差中项为\(k_{n}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(b_{n}=2^{k_{n}}\cdot a_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)；
              \((\)Ⅲ\()\)设集合\(A=\{x|x=k_{n},n∈N^{*}\},B=\{x|x=2a_{n},n∈N^{*}\}\)，等差数列\(\{c_{n}\}\)的任意一项\(c_{n}∈A∩B\)，其中\(c_{1}\)是\(A∩B\)中的最小数，且\(110 < c_{10} < 115\)，求\(\{c_{n}\}\)的通项公式．
              难度：中等
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