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          共50条信息

            • 1．
              已知数列\(\{x_{n}\}\)满足：\(x_{1}=1\)，\(x_{n}=x_{n+1}+ \sqrt {x_{n+1}+1}-1\)．
              证明：当\(n∈N*\)时，
              \((1)0 < x_{n+1} < x_{n}\)；
              \((2)3x_{n+1}-2x_{n} < \dfrac {x_{n}x_{n+1}}{3}\)；
              \((3)( \dfrac {2}{3})^{n-1}\leqslant x_{n}\leqslant ( \dfrac {2}{3})^{n-2}\)．
              难度：中等
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            • 2．
              在正项数列\(\{a_{n}\}\)中，已知\(1\leqslant a_{1}\leqslant 11\)，\(a_{n+1}^{2}=133-12a_{n}\)，\(n∈N^{*}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(1\leqslant a_{n}\leqslant 11\)；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=n(a_{2n-1}+a_{2n})\)，\(S_{n}\)表示数列\(\{b_{n}\}\)前\(n\)项和，求证：\(S_{n}\geqslant 6n(n+1)\)；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(a_{1}=8\)，设\(c_{n}=a_{2n-1}-a_{2n}\)，\(T_{n}\)表示数列\(\{c_{n}\}\)前\(n\)项和．
              \((i)\)比较\(a_{n}\)与\(7\)的大小；
              \((ii)\)求证：\(T_{n} < 13\)．
              难度：中等
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            • 3．
              已知\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(a_{1}=3\)，且\(2S_{n}=a_{n+1}-3(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)对于正整数\(i\)，\(j\)，\(k(i < j < k)\)，已知\(λa_{j}\)，\(6a_{i}\)，\(μa_{k}\)成等差数列，求正整数\(λ\)，\(μ\)的值；
              \((3)\)设数列\(\{b_{n}\}\)前\(n\)项和是\(T_{n}\)，且满足：对任意的正整数\(n\)，都有等式\(a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+a_{3}b_{n-2}+…+a_{n}b_{1}=3^{n+1}-3n-3\)成立\(.\)求满足等式\( \dfrac {T_{n}}{a_{n}}= \dfrac {1}{3}\)的所有正整数\(n\)．
              难度：中等
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            • 4．
              已知\(α\)为锐角，且\(\tan α= \sqrt {2}-1\)，函数\(f(x)=2x\tan 2α+\sin (2α+ \dfrac {π}{4})\)，数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=f(a_{n}).\)
              \((1)\)求函数\(f(x)\)的表达式；
              \((2)\)求证：数列\(\{a_{n}+1\}\)为等比数列；
              \((3)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：中等
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            • 5．
              设\(\{a_{n}\}\)是首项为\(a_{1}\)，公差为\(d\)的等差数列，\(\{b_{n}\}\)是首项为\(b_{1}\)，公比为\(q\)的等比数列．
              \((1)\)设\(a_{1}=0\)，\(b_{1}=1\)，\(q=2\)，若\(|a_{n}-b_{n}|\leqslant b_{1}\)对\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)均成立，求\(d\)的取值范围；
              \((2)\)若\(a_{1}=b_{1} > 0\)，\(m∈N*\)，\(q∈(1, \sqrt[m]{2}]\)，证明：存在\(d∈R\)，使得\(|a_{n}-b_{n}|\leqslant b_{1}\)对\(n=2\)，\(3\)，\(…\)，\(m+1\)均成立，并求\(d\)的取值范围\((\)用\(b_{1}\)，\(m\)，\(q\)表示\()\)．
              难度：中等
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            • 6．
              设函数\(f(x)=(x-t_{1})(x-t_{2})(x-t_{3})\)，其中\(t_{1}\)，\(t_{2}\)，\(t_{3}∈R\)，且\(t_{1}\)，\(t_{2}\)，\(t_{3}\)是公差为\(d\)的等差数列．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(t_{2}=0\)，\(d=1\)，求曲线\(y=f(x)\)在点\((0,f(0))\)处的切线方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(d=3\)，求\(f(x)\)的极值；
              \((\)Ⅲ\()\)若曲线\(y=f(x)\)与直线\(y=-(x-t_{2})-6 \sqrt {3}\)有三个互异的公共点，求\(d\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 7．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)，设\(\triangle a_{n}=a_{n+1}-a_{n}(n=1,2,3,…)\)，若数列\(\{\triangle a_{n}\}\)为单调增数列或常数列时，则\(\{a_{n}\}\)为凸数列．
              \((\)Ⅰ\()\)判断首项\(a_{1} > 0\)，公比\(q > 0\)，且\(q\neq 1\)的等比数列\(\{a_{n}\}\)是否为凸数列，并说明理由；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(\{a_{n}\}\)为凸数列，求证：对任意的\(1\leqslant k < m < n\)，且\(k\)，\(m\)，\(n∈N\)，均有\( \dfrac {a_{n}-a_{m}}{n-m}\geqslant a_{m+1}-a_{m}\geqslant \dfrac {a_{m}-a_{k}}{m-k}\)，且\(a_{m}\leqslant max\{a_{1},a_{n}\}\)；其中\(max\{a_{1},a_{n}\}\)表示\(a_{1}\)，\(a_{n}\)中较大的数；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(\{a_{n}\}\)为凸数列，且存在\(t(1 < t < n,t∈N)\)，使得\(a_{0}\leqslant a_{t}\)，\(a_{n}\leqslant a_{t}\)，求证：\(a_{1}=a_{2}=…=a_{n}\)．
              难度：中等
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            • 8．
              已知正项等比数列\(\{a_{n}\}\)的公比为\(3\)，若\(a_{m}a_{n}=9 a_{ 2 }^{ 2 }\)，则\( \dfrac {2}{m}+ \dfrac {1}{2n}\)的最小值等于\((\)　　\()\)
              A．\(1\)
              B．\( \dfrac {1}{2}\)
              C．\( \dfrac {3}{4}\)
              D．\( \dfrac {3}{2}\)
              难度：中等
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            • 9．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(0 < a_{1} < 1\)，\(a_{n+1}=a_{n}-\ln (1+a_{n})\)，\(n∈N*\)．
              \((1)\)证明：\(0 < a_{n} < 1\)；
              \((2)\)证明：\(2a_{a+1} < a_{ n }^{ 2 }\)；
              \((3)\)若\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，记数列\(\{a_{n}\}\)的前项和为\(S_{n}\)，证明：\(S_{n} < \dfrac {3}{4}\)．
              难度：中等
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            • 10． 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为(    )
              A．\(9\)
              B．
              C．
              D．
              难度：中等
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