已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{3}=0\)，\(S_{5}=-5\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{\)\(\}\)的前\(n\)项和．

已知 \(\{{a}_{n}\} \) 为等差数列，前\(n\)项和为 \(S_{n}(n\)\(∈N*\)\()\) ，\(\{{b}_{n}\} \) 是首项为\(2\)的等比数列，且公比大于\(0\)， \(b_{2}+b_{3}=12\) ， \(b_{3}=a_{4}-2a_{1}\) ， \(S_{11}=11b_{4}\) ．

\((\)Ⅰ\()\)求 \(\{{a}_{n}\} \) 和 \(\{{b}_{n}\} \) 的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)求数列 \(\{a_{2n}b_{2n-1}\}\) 的前\(n\)项和 \((n\)\(∈N*\)\()\) ．

已知数列\(\{a_{n}\}\)是首项为\(1\)，公差为\(2\)的等差数列，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(\dfrac{{{a}_{{1}}}}{{{b}_{{1}}}}+\dfrac{{{a}_{{2}}}}{{{b}_{{2}}}}+\dfrac{{{a}_{{3}}}}{{{b}_{{3}}}}+\ldots +\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\dfrac{{1}}{{{{2}}^{n}}}\)，若数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则\(S_{5}=\)

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的公差\(d\neq 0\)，且\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a\)\(13\)成等比数列，若\(a_{1}=1\)，\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)前\(n\)项的和，则\(\dfrac{2{{S}_{n}}+16}{{{a}_{n}}+3}(n∈N^{*})\)的最小值为______．

已知数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}=\log _{3} \dfrac{n}{n+1}(n∈N^{*})\)，设其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则使\(S_{n} < -4\)成立的最小自然数\(n\)等于\((\)     \()\)

已知数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)\(= \dfrac{n^{2}+n}{2}\)，\(n\)\(∈N^{*}\)．

\((1)\)求数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式；

\((2)\)设\(b_{n}\)\(={{{2}}^{{{a}_{n}}}}+(-1)\)\({\,\!}^{n}a_{n}\)，求数列\(\{\)\(b_{n}\)\(\}\)的前\(2\)\(n\)项和．

已知数列\(\{a_{n}\}\)，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+2\)，则\(a_{n}=\)          ，\(S_{n}=\)             ．

设\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，若不等式\({{n}^{2}}a_{n}^{2}+4S_{n}^{2}\geqslant \lambda {{n}^{2}}a_{1}^{2}\)对任意等差数列\(\{a_{n}\}\)及任意正整数\(n\)恒成立，则\(λ\)的最大值为________．

等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足：\(b_{n}=a_{n}+(-1)^{n}\ln a_{n}\)，求数列的\(2n\)前项和\(S2_{n}\)．

已知下列数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({S}_{n}={3}^{n}+1 \)，求通项公式\({{a}_{n}}\)．