知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知二次函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{2}+ \dfrac {2}{3}x.\)数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，点\((n,S_{n})(n∈N^{*})\)在二次函数\(y=f(x)\)的图象上．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=a_{n}a_{n+1}\cos [(n+1)π](n∈N^{*})\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若\(T_{n}\geqslant tn^{2}\)对\(n∈N^{*}\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围；
\((\)Ⅲ\()\)在数列\(\{a_{n}\}\)中是否存在这样一些项：\(a\;_{n_{1}}\)，\(a\;_{n_{2}}\)，\(a\;_{n_{3}}\)，\(…\)，\(a\;_{n_{k}}\)这些项都能够
构成以\(a_{1}\)为首项，\(q(0 < q < 5)\)为公比的等比数列\(\{a\;_{n_{k}}\}\)？若存在，写出\(n_{k}\)关于\(f(x)\)的表达式；若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．
已知\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=- \dfrac {1}{1+a_{1}}\)，\(a_{3}=- \dfrac {1}{1+a_{2}}\)，\(…\)，\(a_{n+1}=- \dfrac {1}{1+a_{n}}\)，\(….\)那么\(a_{2017}=\) ______ ．

难度：中等

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4．

已知数列\(2008\)，\(2009\)，\(1\)，\(-2008\)，\(…\)这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前\(2014\)项之和\(S_{2014}\)等于\((\)　　\()\)

A．\(1\)

B．\(4018\)

C．\(2010\)

D．\(0\)

难度：中等

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5．
数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}=- \dfrac {1}{1+a_{n}}\)，\(a_{1}=1\)，记数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)，则\(S_{2017}=\) ______ ．

难度：中等

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6．
数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和记为\(S_{n}\)且满足\(S_{n}=2a_{n}-1\)，\(n∈N^{*}\)；
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(T_{n}=a_{1}a_{2}-a_{2}a_{3}+a_{3}a_{4}-a_{4}a_{5}+…+(-1)^{n+1}a_{n}a_{n+1}\)，求\(\{T_{n}\}\)的通项公式；
\((3)\)设有\(m\)项的数列\(\{b_{n}\}\)是连续的正整数数列，并且满足：\(\lg 2+\lg (1+ \dfrac {1}{b_{1}})+\lg (1+ \dfrac {1}{b_{2}})+…+\lg (1+ \dfrac {1}{b_{m}})=\lg (\log _{2}a_{m}).\)
问数列\(\{b_{n}\}\)最多有几项？并求出这些项的和．

难度：中等

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7．
已知点\((1, \dfrac {1}{3})\)是函数\(f(x)=a^{x}(a > 0\)，且\(a\neq 1)\)的图象上一点，等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(f(n)-c\)，数列\(\{b_{n}\}(b_{n} > 0)\)的首项和\(S_{n}\)满足\(S_{n}-S_{n-1}= \sqrt {S_{n}}+ \sqrt {S_{n+1}}(n\geqslant 2)\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)若数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，问\(T_{n} > \dfrac {1000}{2009}\)的最小正整数\(n\)是多少？

难度：中等

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8．
数列\(\{a_{n}\}\)满足\(S_{n}=2n-a_{n}(n∈N^{*}).\)
\((\)Ⅰ\()\)计算\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，并由此猜想通项公式\(a_{n}\)；
\((\)Ⅱ\()\)用数学归纳法证明\((\)Ⅰ\()\)中的猜想．

难度：中等

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9．
已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(S_{n}+a_{n}=2n+1\)．
\((1)\)写出\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，并推测\(a_{n}\)的表达式；
\((2)\)用数学归纳法证明所得的结论．

难度：中等

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10．
若\(a_{1} > 0\)，\(a_{1}\neq 1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {2a_{n}}{1+a_{n}}(n=1,2,…)\)
\((1)\)求证：\(a_{n+1}\neq a_{n}\)；
\((2)\)令\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，写出\(a_{2}\)、\(a_{3}\)、\(a_{4}\)、\(a_{5}\)的值，观察并归纳出这个数列的通项公式\(a_{n}\)；
\((3)\)证明：存在不等于零的常数\(p\)，使\(\{ \dfrac {a_{n}+P}{a_{n}}\}\)是等比数列，并求出公比\(q\)的值．

难度：中等

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