知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知二次函数$f(x)= \dfrac {1}{3}x^{2}+ \dfrac {2}{3}x.$数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，点$(n,S_{n})(n∈N^{*})$在二次函数$y=f(x)$的图象上．
$($Ⅰ$)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$($Ⅱ$)$设$b_{n}=a_{n}a_{n+1}\cos [(n+1)π](n∈N^{*})$，数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，若$T_{n}\geqslant tn^{2}$对$n∈N^{*}$恒成立，求实数$t$的取值范围；
$($Ⅲ$)$在数列$\{a_{n}\}$中是否存在这样一些项：$a\;_{n_{1}}$，$a\;_{n_{2}}$，$a\;_{n_{3}}$，$…$，$a\;_{n_{k}}$这些项都能够
构成以$a_{1}$为首项，$q(0 < q < 5)$为公比的等比数列$\{a\;_{n_{k}}\}$？若存在，写出$n_{k}$关于$f(x)$的表达式；若不存在，说明理由．

难度：中等

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2．

已知数列$\{a_{n}\}$的通项为$a_{n}=( \dfrac {2}{3})^{n-1}⋅[( \dfrac {2}{3})^{n-1}-1]$，下列表述正确的是$($　　$)$

A．最大项为$0$，最小项为$- \dfrac {20}{81}$

B．最大项为$0$，最小项不存在

C．最大项不存在，最小项为$- \dfrac {20}{81}$

D．最大项为$0$，最小项为$a_{4}$

难度：中等

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3．
将连续整数$1$，$2$，$…$，$25$填入如图所示的$5$行$5$列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ______ ，最大值为 ______ ．

难度：中等

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4．

设$\{a_{n}\}$是等比数列，则“$a_{1} < a_{2} < a_{3}$”是“数列$\{a_{n}\}$是递增数列”的$($　　$)$

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

难度：中等

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5．
已知整数列$\{a_{n}\}$满足$a_{3}=-1$，$a_{7}=4$，前$6$项依次成等差数列，从第$5$项起依次成等比数列．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$求出所有的正整数$m$，使得$a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}=a_{m}a_{m+1}a_{m+2}$．

难度：中等

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6．

在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“$H$扩展”$.$已知数列$1$，$2.$第一次“$H$扩展”后得到$1$，$3$，$2$；第二次“$H$扩展”后得到$1$，$4$，$3$，$5$，$2.$那么第$10$次“$H$扩展”后得到的数列的项数为$($　　$)$

A．$1023$

B．$1025$

C．$513$

D．$511$

难度：中等

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7．

若$\{a_{n}\}$是等差数列，首项$a_{1} > 0$，$a_{1007}+a_{1008} > 0$，$a_{1007}⋅a_{1008} < 0$，则使前$n$项和$S_{n} > 0$成立的最大自然数$n$是$($　　$)$

A．$2$ $012$

B．$2$ $013$

C．$2$ $014$

D．$2$ $015$

难度：中等

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8．（2016•上海）无穷数列{a_n}由k个不同的数组成，S_n为{a_n}的前n项和，若对任意n∈N^* ， S_n∈{2，3}，则k的最大值为．

难度：中等

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9．（2016•全国）设等比数列{a_n}满足a₁+a₃=10，a₂+a₄=5，则a₁a₂…a_n的最大值为．

难度：中等

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10．（2016•上海）无穷数列{a_n}由k个不同的数组成，S_n为{a_n}的前n项和．若对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则k的最大值为．

难度：中等

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