知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若f（x）+f（1-x）=4，a_n=f（0）+f（
1
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1）（n∈N⁺），则数列{a_n}的通项公式为．

难度：中等

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2．对于正整数k，记g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（1）=1，g（2）=1，g（10）=5．设S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）．当n≥2，n∈N^*时，S_n-S_n-1= ．

难度：中等

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3．对任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在生产实践中有广泛的应用．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂512]=

难度：中等

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4．（2016•上海）无穷数列{a_n}由k个不同的数组成，S_n为{a_n}的前n项和，若对任意n∈N^* ， S_n∈{2，3}，则k的最大值为．

难度：中等

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5．（2016•全国）设等比数列{a_n}满足a₁+a₃=10，a₂+a₄=5，则a₁a₂…a_n的最大值为．

难度：中等

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6．（2016•上海）无穷数列{a_n}由k个不同的数组成，S_n为{a_n}的前n项和．若对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则k的最大值为．

难度：中等

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7．对于数列{a_n}，定义H_n= $\text{[math]}$ 为{a_n}的“优值”，现在已知某数列{a_n}的“优值”H_n=2ⁿ⁺¹ ，记数列{a_n﹣kn}的前n项和为S_n ，若S_n≤S₅对任意的n（n∈N^*）恒成立，则实数k的取值范围为．

难度：中等

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8．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元．每年销售蔬菜的收入为26万元．设f（n）表示前n年的纯利润（f（n）=前n年的总收入-前n年的总费用支出-投资额），则f（n）= （用n表示）；从第年开始盈利．

难度：中等

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9．（2016•上海模拟）先阅读参考材料，再解决此问题：
参考材料：求抛物线弧y=x²（0≤x≤2）与x轴及直线x=2围成的封闭图形的面积
解：把区间[0，2]进行n等分，得n-1个分点A（
2i
n
，0）（i=1，2，3，…，n-1），过分点A_i，作x轴的垂线，交抛物线于B_i，并如图构造n-1个矩形，先求出n-1个矩形的面积和S_n-1，再求
lim
n→∞
S_n-1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为
2
n
，第i个矩形的高为（
2i
n
）²，所以第i个矩形的面积为
2
n
•（
2i
n
）²；
S_n-1=
2
n
[
4•12
n2
+
4•22
n2
+
4•32
n2
+…+
4•(n-1)2
n2
]=
8
n3
[1²+2²+3²+…+（n-1）²]=
8
n3
•
n(n-1)(2n-1)
6

所以封闭图形的面积为
lim
n→∞
8
n3
•
n(n-1)(2n-1)
6
=
8
3

阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n，不等式
1-
12
n2
+
1-
22
n2
+
1-
32
n2
+…+
1-
(n-1)2
n2
＜an恒成立，则实数a的取值范围为．

难度：中等

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10．已知f(x)=
x
1+x
(x≥0)，数列{a_n}满足a₁=f（1），且a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），则a₂₀₁₅= ．

难度：中等

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