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          共50条信息

            • 1．
              给定无穷数列\(\{a_{n}\}\)，若无穷数列\(\{b_{n}\}\)满足：对任意\(n∈N^{*}\)，都有\(|b_{n}-a_{n}|\leqslant 1\)，则称\(\{b_{n}\}\)与\(\{a_{n}\}\)“接近”．
              \((1)\)设\(\{a_{n}\}\)是首项为\(1\)，公比为\( \dfrac {1}{2}\)的等比数列，\(b_{n}=a_{n+1}+1\)，\(n∈N^{*}\)，判断数列\(\{b_{n}\}\)是否与\(\{a_{n}\}\)接近，并说明理由；
              \((2)\)设数列\(\{a_{n}\}\)的前四项为：\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\(a_{3}=4\)，\(a_{4}=8\)，\(\{b_{n}\}\)是一个与\(\{a_{n}\}\)接近的数列，记集合\(M=\{x|x=b_{i},i=1,2,3,4\}\)，求\(M\)中元素的个数\(m\)；
              \((3)\)已知\(\{a_{n}\}\)是公差为\(d\)的等差数列，若存在数列\(\{b_{n}\}\)满足：\(\{b_{n}\}\)与\(\{a_{n}\}\)接近，且在\(b_{2}-b_{1}\)，\(b_{3}-b_{2}\)，\(…\)，\(b_{201}-b_{200}\)中至少有\(100\)个为正数，求\(d\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 2．

              \(S\)\({\,\!}_{n}\)为等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且\({{a}_{1}}\)\(=1\) ，\({{S}_{7}}\)\(=28\)  记\(b_{n}=[\lg a_{n}]\)，其中\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，如\([0.9] = 0\)，\([\lg 99]=1\)。

              \((I)\)求\({{b}_{1}}\)，\({{b}_{11}}\)，\({{b}_{101}}\)；

              \((II)\)求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(1 000\)项和．

              难度：中等
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