知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（sin $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80x%7D%7B2%7D$ ，sin $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（cos $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80x%7D%7B2%7D$ ，cos $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ），且向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 共线．
（1）求证：sin（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80x%7D%7B2%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ）=0；
（2）若记函数f（x）=sin（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80x%7D%7B2%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ），求函数f（x）的对称轴方程；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）的值；
（4）如果已知角0＜A＜B＜π，且A+B+C=π，满足f（ $%20%5Cfrac%20%7B4A%7D%7B%5Cpi%20%7D$ ）=f（ $%20%5Cfrac%20%7B4B%7D%7B%5Cpi%20%7D$ ）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求 $%20%5Cfrac%20%7BsinB%7D%7BsinC%7D$ 的值．

难度：中等

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2．已知函数f（x）= $%20%5Csqrt%20%7B3%7Dsinxcosx-cos%5E%7B2%7Dx-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（1，sinA）与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（2，sinB）共线，求a，b的值．

难度：中等

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3．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线L：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个交点；
（2）设直线L与圆C交于点A、B，若|AB|= $%20%5Csqrt%20%7B17%7D$ ，求直线L的倾斜角；
（3）设直线L与圆C交于A、B，若定点P（1，1）满足 $2%20%5Coverrightarrow%20%7BAP%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BPB%7D$ ，求此时直线L的方程．

难度：中等

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4．
已知向量$ \overrightarrow{a}=(1,0), \overrightarrow{b}=(-2,1)$．
$(1)$若$k \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b}$与$ \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$垂直，求$k$的值；
$(2)$若$k \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b}$与$ \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$平行，求$k$的值．

难度：中等

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5．设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x²+y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：a²＞ $%20%5Cfrac%20%7B3k%5E%7B2%7D%7D%7B3%2Bk%5E%7B2%7D%7D$ ；
（Ⅱ）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ =2 $%20%5Coverrightarrow%20%7BCB%7D$ ，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

难度：中等

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6．如图所示，有点O，O′和△A′B′C′，满足下列条件：
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，
O ′A′
=-
a
，
O ′B′
=-
b
，O′C′=-
c
，求证：△ABC≌△A′B′C′．

难度：中等

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7．在平面上有一个四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：
EF
=
HG
．

难度：中等

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8．已知
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosx，sinx）若
a
=
b
，求x．

难度：中等

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9．如图所示，四边形ABEF和BCDE均是边长为1的正方形，在以A、B、C、D、E、F为起点和终点的向量中．
（1）写出与
AF
、
AE
相等的向量；
（2）写出与
AD
模相等的向量．

难度：中等

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10．比较
a
+
b
和
a
-
b
模的大小，并指出它们相等时的条件．（
a
，
b
均为向量）

难度：中等

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