知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h的速度向东流，现有一艘工作艇，在诲面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿着与桥平行的方问由南向北航行，则艇的航向如何确定？

难度：中等

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2．一艘船以10km/h的速度沿垂直于河对岸的方向航行，船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度的大小与船实际速度的大小．

难度：中等

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3．一辆消防车从A地去B地执行任务．先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地．然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
（1）在如图所示的坐标系中画出
AD
，
DC
，
CB
，
AB
；
（2）求B地相对于A地的位置向量．

难度：中等

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4．如图所示，已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，
OD
=
d
，
OF
=
f
，试用
a
，
b
，
c
，
d
，
f
表示下列向量．
（1）
AC
；
（2）
AD
；
（3）
AD
-
AB
；
（4）
AB
+
CF
；
（5）
BF
-
BD
．

难度：中等

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5．若
OD
+
OE
=
OM
，试着判断下列结论是否正确．
（1）
OM
-
OE
=
OD
；
（2）
OM
+
DO
=
OE
；
（3）
OD
+
EO
=
OM
；
（4）
DO
+
EO
=
MO
．

难度：中等

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6． 2012年全国中学生机器人大赛选选拔赛中，机器人刚开始在原点位置，为了让机器人完成某项任务，学生给机器人设置了以下指令：先逆时针旋转α角，然后向前进1米，将该指令进行一次称为一次操作，试用向量解决以下问题．
（1）当α=
π
3
时，经过几次操作才能回到原点？
（2）是否存在α，使机器人经过10次操作，能首次回到原点？

难度：中等

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7．已知向量
e1
=（1，0），
e2
=（0，1），动点P从点P₀（-1，2）开始沿着与向量
e1
+
e2
相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|
e1
+
e2
|；另一动点Q从点Q₀（-2，-1）开始沿着与向量3
e1
+2
e2
相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3
e1
+2
e2
|，设P、Q在t=0秒时刻分别在P₀、Q₀处．
（1）经过多长时间|PQ|最小？求出最小值；
（2）经过多长时间后
PQ
⊥
P0Q0
，求出t值．

难度：中等

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8．如图，△ABC中，点E、F、G分别在边BC、AC、AB上，且
AG
GB
=
BE
EC
=
CF
FA
=
1
2
，设
AB
=
a
，
BC
=
b
．
（1）用
a
、
b
表示向量
AF
；
（2）证明：
AE
+
BF
+
CG
=0．

难度：中等

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9．已知向量
OA
，
OB
，
OC
满足条件
OA
+
OB
+
OC
=0，|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=1，求证：△ABC为正三角形．

难度：中等

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10．一轮渡向北以航速20km/h航行，此时风从西方吹来，风速5m/s，用作图法求轮渡的实际航行速度和方向．

难度：中等

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