知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
a
=（1，2），
b
=（-3，2），k为何值时下列各式成立？
（1）（k
a
+
b
）⊥（
a
-3
b
）；
（2）（k
a
+
b
）∥（
a
-3
b
）

难度：中等

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2．已知A（0，0），B（2
3
，0），C（0，2
6
），完成下列问题
（1）用向量方法证明：AB⊥AC；
（2）用向量方法求sin∠ABC；
（3）过A作BC的垂线交BC于点D，求点D的坐标．

难度：中等

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3．在平行四边形ABCD中，A（1，1），
AB
=（6，0），
AD
=（3，5）．
（1）求点C的坐标；
（2）设M是线段AB的中点，且线段CM与BD交于点P，求
PM
•
PB
的值．

难度：中等

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4．已知
a
=（2，1），
b
=（3，n），且3
a
=2
b
，则实数n= ．

难度：中等

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5．已知
a
=（-1，2），
b
=（2，3），则2
a
-3
b
= ．

难度：中等

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6．已知△ABC各顶点的坐标分别为（x_A，y_A），（x_B，y_B），（x_C，y_C），点E，F分别在AC、AB上，AE=
1
3
AC，AF=
1
4
AB，BE、CF交于点D，求D点坐标．

难度：中等

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7．向量
m
和
n
的起点都在坐标原点．
m
=（
t2-5
2a
，t）．
n
=（-
t2-5
2b
，t）（a，b为正常数，t∈R）．
（1）当实数t变化时．求
m
和
n
的终点的运动轨迹C₁和C₂
（2）有长方形ABCD的四个顶点都在（1）中的C₁与C₂所围成图形的边界上．且长方形各边分别与x轴．y轴平行．顶点A，B在C₂上．A（x，y），求该长方形的面积f（x）及其定义域；
（3）在上述条件下．若所有长方形ABCD中面积最大的是正方形，求a与b的关系．

难度：中等

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8．如图所示，已知△AOB中，A（0，5），O（0，0），B（4，3），
OC
=
1
4
OA
，
OD
=
1
2
OB
，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

难度：中等

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9．设平行四边形ABCD中，三个顶点分别是A（-1，0）、B（-2，3）、C（2，4），求顶点D的坐标．

难度：中等

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10．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），
OP
=t₁
OA
+t₂
AB
．
（1）证明：当t₁=1时，不论t₂为何实数，A、B、P三点共线；
（2）试求当t₁、t₂满足什么条件时，O、A、B、P能组成一个平行四边形．

难度：中等

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