知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知A（1，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π）．
（Ⅰ）若|
OA
+
OC
|=
2+
3
（O为坐标原点），求
OB
与
OC
的夹角；
（Ⅱ）若
AC
⊥
BC
，求3sinα-cosα的值．

难度：中等

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2．已知向量
a
=(3，1)，
b
=(1，3)，
c
=(k，7)，若(
a
-
c
)∥
b
，则k= ．

难度：中等

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3．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5）．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（Ⅱ）若点Q是直线OA上的任意一点，求
QB
•
QC
的最小值．

难度：中等

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4．已知向量
a
，
b
，
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=(1， 2)．
（1）若|
c
|=2
5
，且向量
c
与向量
a
反向，求
c
的坐标；
（2）若|
b
|=
5
2
，且(
a
+2
b
)•(2
a
-
b
)=
15
4
，求
a
与
b
的夹角θ．

难度：中等

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5．定义一种新运算：a⊗b=
b，(a≥b)
a，(a＜b)
，已知函数f(x)=
4
x
⊗(1+log2x)(x＞0)，若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则k的取值范围为．

难度：中等

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6．在平行四边形ABCD中，A（1，1），
AB
=（6，0），
AD
=（3，5）．
（1）求点C的坐标；
（2）设M是线段AB的中点，且线段CM与BD交于点P，求
PM
•
PB
的值．

难度：中等

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7．已知
a
=（2，1），
b
=（3，n），且3
a
=2
b
，则实数n= ．

难度：中等

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8．已知
a
=（-1，2），
b
=（2，3），则2
a
-3
b
= ．

难度：中等

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9．已知△ABC各顶点的坐标分别为（x_A，y_A），（x_B，y_B），（x_C，y_C），点E，F分别在AC、AB上，AE=
1
3
AC，AF=
1
4
AB，BE、CF交于点D，求D点坐标．

难度：中等

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10．向量
m
和
n
的起点都在坐标原点．
m
=（
t2-5
2a
，t）．
n
=（-
t2-5
2b
，t）（a，b为正常数，t∈R）．
（1）当实数t变化时．求
m
和
n
的终点的运动轨迹C₁和C₂
（2）有长方形ABCD的四个顶点都在（1）中的C₁与C₂所围成图形的边界上．且长方形各边分别与x轴．y轴平行．顶点A，B在C₂上．A（x，y），求该长方形的面积f（x）及其定义域；
（3）在上述条件下．若所有长方形ABCD中面积最大的是正方形，求a与b的关系．

难度：中等

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