知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
m
=（sinα-2，-cosα），
n
=（-sinα，cosα），其中α∈R．
（1）若
m
⊥
n
，求角α；
（2）若|
m
-
n
|=
2
，求cos2α的值．

难度：中等

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2．已知|
a
|=3，|
b
|=2，
a
与
b
的夹角为120°，当k为何值时，
（1）k
a
-
b
与
a
-k
b
垂直；
（2）|k
a
-2
b
|取得最小值？并求出最小值．

难度：中等

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3．已知向量
a
≠
b
，|
b
|=1．
（1）若|
a
|=2，|
a
+
b
|=2|
a
-
b
|，求向量
a
与
b
的夹角的余弦；
（2）对任意实数t，恒有|
a
-t
b
|≥|
a
-
b
|，求证：（
a
-
b
）⊥
b
．

难度：中等

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4．已知向量
a
=（1，2），
b
=（-3，4）．
（1）求
a
+
b
；
（2）若
a
⊥（
a
+λ
b
），求实数λ的值．

难度：中等

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5．已知向量
a
=（1，2），
b
=（2，-2）．
（1）设向量
c
=4
a
+
b
，求
b
•
c
的值；
（2）若实数λ使向量
a
+λ
b
与
a
垂直，求λ的值．

难度：中等

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6．已知向量
a
=（1，2），
b
=（-2，x）．
（1）当
a
⊥
b
时，求x的值；
（2）当向量
a
与（4
a
+
b
）的夹角是锐角，求|
b
|的取值范围．

难度：中等

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7．已知向量（1，-cosθ）与（sinθ，1）（-
π
2
＜θ＜
π
2
）垂直，向量
a
=（1，2），
b
=（-2，n）（n＞1），
a
与
b
的夹角为θ．
（1）求
b
；
（2）若
c
与
b
同向，且
a
与
c
-
a
垂直，求
c
．

难度：中等

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8．已知O为坐标原点，设向量
OA
=（-1，-2），
OB
=（1，4），
OC
=（2，-4），在向量
OC
上是否存在点P，使得
PA
⊥
PB
，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．已知向量
a
=（
1
2
，
3
2
），
b
=（-
3
2
，-
1
2
）．
（1）求向量
a
，
b
的夹角（用弧度表示）；
（2）设
c
=（cosθ，sinθ），若（
a
+
b
）⊥
c
，求sinθ和cosθ的值．

难度：中等

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10．已知
AB
=（-1，3），
BC
=（3，m），
CD
=（1，n），且
AD
∥
BC
．
（1）求实数n的值；
（2）若
AC
⊥
BD
，求实数m的值．

难度：中等

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