知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值5和最小值1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，3]使得方程|f（x）-2x|=t²-2t-8有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设g(x)=
f(x)
x
，若g(2x)+k•
2
2x
-k≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（-1+x）=f（-1-x），f（0）=1，f（-1）=0，令g（x）=ln（x-1）²-f（x）．
（1）求函数f（x）的表达式及函数g（x）的单调区间；
（2）关于x的方程g（x）=-x²-x-1-a在[0，2]上恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=ax²-ax-1（a∈R）．
（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜2x-3．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=（
1
a
）^2-2x（a＞0，a≠1）的图象恒经过与a无关的定点A，
（1）求点A的坐标
（2）若偶函数g（x）=ax²+bx-c，x∈[1-2c，c]的图象过点A，求a，b，c的值．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=ax²-bx+1，
（Ⅰ）是否存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4），若存在，求实数a，b的值，若不存在请说明理由．
（Ⅱ）若a＜0，b=a-2，且不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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6．有一个数据运算装置，如下图所示，输入数据x通过这个运算装置就输出一个数据y，输入一组数据，则会输出另一组数据．要使输入的数据介于20～100之间（含20和100，且一个都不能少），输出的另一组数据后满足下列要求：①新数据在60～100之间（含60和100，也一个都不能少）；②新数据的大小关系与原数据的大小关系相反，即原数据较大的对应新数据较小．
（1）若该装置的运算规则是一次函数，求出这种关系；
（2）若该装置的运算规则是y=a（x-h）²（a＞0），求满足上述条件的a，h应满足的关系式；
（3）请你设计一种满足上述条件新的运算规则（非一次、二次函数）．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=x²-（c+1）x+c（c∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当c=1时，不等式f（x）＞a-5在（0，2）上恒成立，求实数a的取值范图；
（3）设g（x）=f（x）-x²-（a-1）x，已知0＜g（2）＜1，3＜g（3）＜5．求g（4）-a的范图．

难度：中等

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8．设函数f（x）=ax²-bx+2b（a＞0），集合A={x|f（x）＜0}，若A∩Z的子集恰有4个，求
f(1)
f(2)
的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=x²+ax+b，不等式f（x）≤3的解集为[1，2]．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[m，m+1]（m∈R）上的最小值g（m）．

难度：中等

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10．函数f（x）=x²-2ax+a．
（1）若f（0）=1，求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值及最小值；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，1）上有最小值，试判断函数g（x）=
f(x)
x
在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明．

难度：中等

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