知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
观察下列式子：\(1+ \dfrac {1}{2^{2}} < \dfrac {3}{2}\)，\(1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}} < \dfrac {5}{3}\)，\(1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}+ \dfrac {1}{4^{2}} < \dfrac {7}{4}\)，\(…\)，根据以上式子可以猜想：\(1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}+…+ \dfrac {1}{2013^{2}} < \) ______ ．

难度：中等

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3．
将标号为\(1\)，\(2\)，\(…\)，\(20\)的\(20\)张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片\(.\)把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为\(a\)；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为\(b\)．

甲同学认为\(a\)有可能比\(b\)大，乙同学认为\(a\)和\(b\)有可能相等\(.\)那么甲乙两位同学中说法正确的同学是 ______ ．

难度：中等

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4．

对于集合\(A\)，定义了一种运算“\(⊕\)”，使得集合\(A\)中的元素间满足条件：如果存在元素\(e∈A\)，使得对任意\(a∈A\)，都有\(e⊕a=a⊕e=a\)，则称元素\(e\)是集合\(A\)对运算“\(⊕\)”的单位元素\(.\)例如：\(A=R\)，运算“\(⊕\)”为普通乘法；存在\(1∈R\)，使得对任意\(a∈R\)，都有\(1×a=a×1=a\)，所以元素\(1\)是集合\(R\)对普通乘法的单位元素．
下面给出三个集合及相应的运算“\(⊕\)”：
\(①A=R\)，运算“\(⊕\)”为普通减法；
\(②A=\{A_{m×n}|A_{m×n}\)表示\(m×n\)阶矩阵，\(m∈N^{*}\)，\(n∈N^{*}\}\)，运算“\(⊕\)”为矩阵加法；
\(③A=\{X|X⊆M\}(\)其中\(M\)是任意非空集合\()\)，运算“\(⊕\)”为求两个集合的交集．
其中对运算“\(⊕\)”有单位元素的集合序号为\((\)　　\()\)

A．\(①②\)

B．\(①③\)

C．\(①②③\)

D．\(②③\)

难度：中等

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5．
下面图形由小正方形组成，请观察图\(1\)至图\(4\)的规律，并依此规律，写出第\(n\)个图形中小正方形的个数是 ______ ．

难度：中等

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6．
设\(A_{2n}=(a_{1},a_{2},…,a_{2n})\)是由\(2n\)个实数组成的有序数组，满足下列条件：\(①a_{i}∈\{1,-1\}\)，\(i=1\)，\(2\)，\(…\)，\(2n\)；\(②a_{1}+a_{2}+…+a_{2n}=0\)；\(③a_{1}+a_{2}+…+a_{i}\geqslant 0\)，\(i=1\)，\(2\)，\(…\)，\(2n-1\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(n=3\)时，写出满足题设条件的全部\(A_{6}\)；
\((\)Ⅱ\()\)设\(n=2k-1\)，其中\(k∈N^{*}\)，求\(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}\)的取值集合；
\((\)Ⅲ\()\)给定正整数\(n\)，求\(A_{2n}\)的个数．

难度：中等

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7．
古埃及数学中有一个独特现象：除\( \dfrac {2}{3}\)用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式\(.\)例如\( \dfrac {2}{5}= \dfrac {1}{3}+ \dfrac {1}{15}\)，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给\(5\)个人，每人\( \dfrac {1}{2}\)不够，每人\( \dfrac {1}{3}\)余\( \dfrac {1}{3}\)，再将这\( \dfrac {1}{3}\)分成\(5\)份，每人得\( \dfrac {1}{15}\)，这样每人分得\( \dfrac {1}{3}+ \dfrac {1}{15}.\)形如\( \dfrac {2}{n}(n=5,7,9,11,…)\)的分数的分解：\( \dfrac {2}{5}= \dfrac {1}{3}+ \dfrac {1}{15}\)，\( \dfrac {2}{7}= \dfrac {1}{4}+ \dfrac {1}{28}\)，\( \dfrac {2}{9}= \dfrac {1}{5}+ \dfrac {1}{45}\)，\(…\)，按此规律，则\((1) \dfrac {2}{11}=\) ______ \(.(2) \dfrac {2}{n}=\) ______ \(.(n=5,7,9,11,…)\)

难度：中等

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8．
已知函数\(y= \dfrac {1}{x}\)的图象的对称中心为\((0,0)\)，函数\(y= \dfrac {1}{x}+ \dfrac {1}{x+1}\)的图象的对称中心为\((- \dfrac {1}{2},0)\)，函数\(y= \dfrac {1}{x}+ \dfrac {1}{x+1}+ \dfrac {1}{x+2}\)的图象的对称中心为\((-1,0)\)，\(…\)，由此推测，函数\(y= \dfrac {1}{x}+ \dfrac {1}{x+1}+ \dfrac {1}{x+2}+…+ \dfrac {1}{x+n}\)的图象的对称中心为 ______ ．

难度：中等

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